분석적 연속의 초기 예는 무엇입니까?
Riemann이 어떻게 알았는지 궁금합니다. $\zeta(z)$더 큰 도메인으로 확장 될 수 있습니다. 특히, 복잡한 가치 기능의 영역을 명시 적으로 확장 한 최초의 사람은 누구이며 기능은 무엇입니까?
답변
(확장 된 1/26/21
먼저 영어가 모국어가 아닌 사용자를 위해 '복소수 함수'라는 문구에서 'a'라는 기사를 사용하는 것은 질문이 리만 또는 다른 제타 함수와 관련된 것이 아니라는 것을 의미합니다. 여기에는 영역이 실수의 집합 인 모든 기능 이 포함되어 있으므로 "일부 실수 집합에서 복합의 연속 영역으로 중요한 기능의 영역 확장을 발표 한 최초의 사람은 누구입니까? 그 기능은 무엇입니까? " 나에게있어 분석적 연속이라는 용어의 정확한 의미와 그것이 고유한지 여부는 다른 질문입니다.
첫 번째 문장과 몇 가지 주석은 Riemann zeta 함수에 중점을 둡니다. Riemann은 혼자가 아니었고 그의 관심사는 오늘날 RH에 대한 거의 강박적인 초점이 암시하는 것보다 훨씬 더 광범위했습니다. 그의 관심은 거의 모든 복잡한 분석을 포괄했기 때문에 실제 기능을 복잡한 기능으로 확장하는 것을 고려하는 것이 당연했습니다.
Euler 이전의 수학자가 어느 날 아침에 일어나서 "내가 진짜 공식을 수정하여 -1의 제곱근을 포함하면 어떨까요?"라고 생각했다는 사실을 믿기 어렵습니다 (어떤 유형의 지역적 편견 때문입니다). Roger Cotes는 천문학과 천체 역학에 대한 그의 관심으로 의미있게 그렇게 할 준비가되었습니다. 삼각 함수, 역, 미적분 및 뉴턴 역학의 시리즈 반복에 대한 그의 동료 Newton의 작업에 대한 친숙 함; 네이피어가 1600 년대 초에 도입 한 로그 테이블을 사용하여 지구와 하늘을 측량 할 때 발생하는 많은 수의 계산을 처리합니다. 그리고 보간 작업 (Cotes '및 Newton 's).
Cotes는 지수 함수에 대한 것을 포함하여, Cotes가 Newton의 Power 시리즈의 구성 역전 (정식 시리즈에 대한 Lagrange 역전 공식의 연관 버전 포함, 아래 Ferraro 참조)에 익숙했으며 Griffiths에 의해 언급 된대로 다시 강조하겠습니다. Freiberger 의 " The making of the logarithm " 게시물에 대한 의견 : 이러한 로그 테이블이 없으면 Nicholas Mercator로부터 x 축을 따라 거리의 로그와 동일한 대칭 쌍곡선 아래 영역에 대한 이론이 없으며 Isaac Newton의 회귀도 없습니다. 대수에 대한 무한 급수를 얻기위한 쌍곡선 공식의 $e^x$. (Mercator 맵, 점이 보이기 시작 했습니까?) 실제로 Ferraro는 "The Rise and Development of the theory of Series up to the Early 1820s"의 74 페이지와 75 페이지에서 Newton이 대수에 대한 멱급수를 반전시킨 방법에 대해 설명합니다.$-\ln(1-x)$ 역대 수의 멱급수를 구하려면 $1- e^{-x}$. (기하학과 분석에 대한 그의 뛰어난 숙달을 가진 Newton은 여기서 두 시리즈의 파생물 사이의 간단한 역함수 정리 관계도 분명히 주목했을 것입니다.)
결과적으로, 미적분학의 탄생과 멱급수 및 구성 역수와의 연관성에 대해 Cotes는 오일러가 7 세였던 1714 년에 다음과 같이 기록했습니다.
$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$
오일러의 1748 년 멋진 공식의 초기 버전 (참조 : Wikipedia )
$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$
도함수 (또는 플럭 션)를 사용한 명백한 검사는 지수를 명시 적으로 사용하지 않고 공식을 검증합니다.
$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$
이것이 Newton과 Cotes에 대한 SOP라고 확신합니다.이 경우에는 역함수 정리라고하는 연쇄 규칙을 적용했습니다. $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, 이것은 실제로 공식을 분명하게 만듭니다.
"지수 및 대수 개념의 역사"에서 Cajori는 John Bernoulli가 1702 년에 실수에서 허수로 변환 된 미분 방정식의 해를 고려한 방법을 설명하고 Cotes가 1714 년과 1722 년에 발표 한 공식을 도출했습니다. Cajori는 또한 Euler가 허수를 사용하는 것을 부끄러워하지 않았다고 주장합니다.
오늘 작성된 오일러의 공식은 지수 함수의 상징적 표현에 대한 오일러와 동료들의 개발을 기다려야했습니다. $\exp(z) = e^z$ 와 $e$오일러 상수이며 Napier의 로그 테이블에서 발생했기 때문에 Napier 상수라고도합니다. 이것은 로그의 기초가되는 많은 미적분을 Huygens와 다른 사람들에 의해 설명 된 이후였습니다. 지수 함수는 로그 게시물에 언급 된대로 로그의 우선 순위를 반영하는 '반대 수'라고도합니다.
Cote의 로그 공식은 단순히 대체하는 것보다 다소 어려운 방식으로 양의 실수에서 로그 인수의 복소수의 영역으로 확장 한 것입니다. $n$ 시리즈 대표 $\zeta(n)$ 실제 라인의 실수로 그리고 복잡한 평면의 다른 숫자로.
Cotes에 관한 Wikipedia 기사에 따르면, 그는 1722 년에 "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(정리, 일부 로고, 일부 삼각법, 추가로 개발 된 측정 방법에 의해 주어진 플럭 션의 흐름을 산출합니다). 그는 삼각법을 꽤 잘 이해했으며, 이러한 관점에서 Cotes와 Euler의 공식은 다음과 같은 해의 연속으로 간주 될 수 있습니다.$|x| = 1$복잡한 평면으로. 솔루션은 도메인 1과 -1 및 범위 1을 사용하여 매우 간단한 함수를 정의한 다음 복잡한 도메인에서 반경 1의 원으로 해석 적으로 계속됩니다. 이는 일종의 보간입니다 ( Roger Cotes 의 Wiki에있는 보간 링크 위로 마우스를 가져 가면 ) 간단한 함수 방정식 만족$|f(x)|=1$. (이산 정수 도메인이있는 함수에서 연속 복소 도메인 (뉴턴 및 sinc / 카디널 시리즈 보간과 관련됨)이있는 함수까지의 보간 / 분석적 연속 유형의 다른 예는이 MO-Q 및이 MSE-Q에 나와 있습니다.
더 넓은 관점에서 Cotes의 로그 공식은 실수에서 실수로의 매핑, 콤플렉스에서 콤플렉스로의 매핑으로 로그의 분석적 연속의 명확한 예입니다. 물론 Cotes는 (실제로 활용했으며 로그에 익숙한 사람은 누구나 알고 있다는 것을 당연시했을 것입니다)$u,v > 0$,
$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$
그래서 그는 양의 실수에서 복잡한 로그로의 분석적 연속의 가장 어려운 부분을 기록했습니다 ( 다수 성을 명시 적으로 설명 하지는 않았지만 )
$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$
Wikipedia의 Refs : John Napier , The History of Logarithms , Logarithm , Roger Cotes , Euler 's identity , Euler 's Formula .
복잡한 인수를 사용한 오일러 합산 외에도 Euler는 감마 함수에 대한 하이브리드 Mellin-Laplace 적분 표현으로 분수 미적분을 개발하기 위해 복잡한 인수에 대한 감마 함수로 팩토리얼을 확장 한 최초의 사람입니다 ( " 현대 물리학에 대한 오일러 레거시 참조" "Dattoli, Del Franco 및 위에서 언급 한 MSE-Q). 베타 함수에 대한 오일러의 적분은 일반화 된 이항 계수에 대해서도 동일하게 허용되며, 이는 Newton (다시 말하지만 Cotes의 동료)이 정수 이항 계수의 실수로 확장하기 위해 수행 한 작업입니다. 불행히도 Euler는 복소수의 확장을 완전히 이해하지 못했습니다 (Argand와 Wessel은 나중에 나옵니다). 그렇지 않으면 복잡한 분석의 미적분에 대해 Cauchy, Liouville 및 Riemann을 퍼 뜨렸을 것입니다.
Riemann zeta 함수의 선사 시대는 Oswald와 Steuding의 " Adolf Hurwitz의 수학적 작업에서 제타 함수 이론의 측면 "을 참조하십시오 . 저자들은 제타의 선사 시대에 대한 논의에서 's'가 진짜인지 복잡한 지 말하지 않습니다. Riemann 이전에 오일러와 다른 사람들이$s$복잡한. 오일러는 그의 멋진 공식과 감마 함수에 대한 반사 공식을 통해 복합물에 대한 연결을 제안했을 제타의 정수 인수에 대해 pi의 거듭 제곱과 연관이 있었지만, Riemann 's 없이는이 관점에서 얻을 것이 많지 않았습니다. Mellin 변환 담당자. 이를 통해 Riemann은 첫 번째로 제타의 새로운 특성을 알아 내고, Euler의 반사 공식을 적용하여 Hankel 윤곽이 오른쪽 반면에서 전체 복소면으로 연속되는 제타를 제공하고 비를 결정하는 영리한 알고리즘을 개발했습니다. -다른 개발 중에서 사소한 0.
붉은 청어는 보간과 분석적 연속 사이에 인공적인 이분법을 강제하기위한 근시안적인 노력 인 것 같습니다. 나는 실제 영역에서 보간에 대한 Cotes (및 Newton의) 관심과 기술 (확실히 천체 궤도에 근접하는 것과 관련됨)을 사용하여 그가 분석적 연속성을 만드는 경향이 있음을 나타냅니다. 또한 이분법이 없습니다. 여러 MO 및 MSE 질문에서 보간이 감마 함수에 대한 계승, 리만 제타에 대한 베르누이 수, 후르 비츠 제타에 대한 베르누이 다항식 및 미분의 정수 거듭 제곱에 대한 고전적인 미적분과 어떻게 관련되는지 보여줍니다. 다른 보간 / AC 중에서 복잡한 정수가 아닌 값에 대한 op (예 :이 MO-Q 또는이 MO-Q에서 시작 ). 이것들은 sinc 함수 / 카디널 시리즈 보간, 이항 확장 보간 및 / 또는 뉴턴 보간 및 아마도 다른 것 (예 : MO-Q ) 과 관련 될 수 있습니다 . 좀 더 정교한 연관성은 말러의 정리와이 MO-Q 에 대한 답변의 참조와 관련이 있습니다. Riemann의 선물 중 한 가지 측면은 이것이 Mellin 변환과 어떻게 관련되어 있는지에 대한 통찰력이었습니다.
(접근성 편향에 대해서는 Khaneman 및 Tversky를 참조하십시오.)