Cantor 세트가 셀 수없는 이유 [중복]
Cantor 세트에 셀 수없이 많은 요소가있는 이유를 알기 어렵습니다.
캔터 세트 $C$닫힙니다. 그래서$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$개방형이며 분리 된 개방 간격의 셀 수있는 합집합입니다. 추가로 주문할 수 있다고 가정 할 수 있습니다.$\{I_n\}$셀 수만큼만 많기 때문에 왼쪽 끝점으로. 그래서 사이$I_n=(a_n,b_n)$ 과 $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, 우리는 $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$. 만약$b_n < a_{n+1}$, Cantor 세트 $C$ 모순 인 간격으로 구성되어 있으므로 $b_n = a_{n+1}$ 모든 $n$, 따라서 Cantor 세트는 최대 셀 수없이 많은 포인트를 가질 수 있습니다.
답변
추론의 오류는 셀 수있는 숫자 세트를 주문할 수 있다는 가정입니다. 예를 들어, 셀 수는 있지만 순서를 지정할 수없는 유리수 집합을 생각해보십시오 (여기서 '순서 지정'은 다음과 같은 순서로 열거하는 것을 의미합니다.$\alpha_1<\alpha_2<\dots$).
캔터 세트가 셀 수 없음을 확인하는 간단한 방법은 사이의 모든 숫자를 관찰하는 것입니다. $0$ 과 $1$ 다음으로 만 구성된 삼항 확장 포함 $0$ 과 $2$캔터 세트의 일부입니다. 그러한 시퀀스가 셀 수 없을만큼 많기 때문에 칸터 세트는 셀 수 없습니다.
추가로 주문할 수 있다고 가정 할 수 있습니다. $\{I_n\}$ 셀 수만큼만 많기 때문에 왼쪽 끝점으로.
아뇨. 왜 할 수 있다고 생각하세요? 예를 들어 셀 수없이 많은 숫자를 고려하십시오.$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ 누적 포인트가 두 개 이상인 한 정수로 인덱싱 된 순서를 기대할 수 없습니다.
추가로 주문할 수 있다고 가정 할 수 있습니다. $\{I_n\}$ 셀 수만큼만 많기 때문에 왼쪽 끝점으로.
이 논리에 의해 유리수를 순서대로 열거하는 것도 가능해야합니다. 그러나 그것은 터무니없는 일입니다.
나는 그것이 어디에서 잘못되었는지 정확히 알만큼 충분히 당신의 주장을 잘 따르지 않고있다. 당신이 스스로에게 물어볼 수있는 한 가지 질문은 "이것이 모든 닫힌 세트가 셀 수 있다는 것을 보여주는가?"이다. 여기 캔터 세트의 특별한 점은 무엇입니까? 나는 그것을 보지 않는다.
캔터 세트가 셀 수없는 이유는 다음과 같습니다.
캔터 세트 구성의 각 유한 수준에서 우리는 각 조각의 중간 1/3을 "버립니다". 따라서 우리는 각 단계에서 결정을 내릴 수 있습니다. 왼쪽으로 가나 요? 아니면 우리가 바로 가나 요?
예, 시작합니다 $[0,1]$. 그런 다음 우리는$[0,\frac{1}{3}]$ 또는 $[\frac{2}{3},1]$. 왼쪽으로 가자. 이제 우리는$[0,\frac{1}{9}]$ 또는 $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$.
셀 수있는 모든 선택 순서 (왼쪽 또는 오른쪽)가 칸터 세트의 고유 한 포인트를 제공한다는 것을 알 수 있습니다. 더욱이 캔터 세트의 모든 포인트는 그러한 선택 순서에 해당합니다. 그래서 우리가 쓰면$0$ "왼쪽"및 $1$ "오른쪽, 칸토르 세트의 포인트는 무한한 문자열과 함께 bijection에 있습니다. $0$모래 $1$에스.
재미로, 토폴로지 구조도 실제로 일치합니다! 그렇기 때문에 사람들이 캔터 세트를 부르는 것을 자주 볼 수 있습니다.$2^\omega$. 집합 이론 언어에서는 기본적으로 "무한한 시퀀스$0$모래 $1$에스".
좋아,하지만 이제 셀 수없이 많은 무한 시퀀스가 있어야합니다. $0$모래 $1$s 대각 화 인수 . 따라서 캔터 세트도 셀 수 없습니다.
도움이 되었으면 좋겠습니다 ^ _ ^