CDF의 적분은 무엇이라고해야합니까?

Dec 10 2020

이것은 엄격히 명명법 문제입니다. 유형의 이중 적분을 찾는 데 특별한 문제가 없습니다.$\int\int\text{pdf}(y) \, d y \,d x$, 그리고 나는 그것들이 매우 유용하다고 생각합니다. 우리는 좋은 이름을 가지고 있지만$\int\text{pdf}(x) \, dx=\text{CDF}(\textit{x})$, 여기서 CDF는 누적 분포 (크레딧 : @NickCox, AKA, 밀도) 함수이며, 제가 가지고 있지 않은 것은 CDF의 적분에 대한 좋은 이름입니다.

나는 그것을 누적 누적 분포 (ACD), DID (밀도의 이중 적분) 또는 CDF2라고 부를 수 있다고 생각하지만 그런 종류의 것은 본 적이 없습니다. 예를 들어 "ccdf"또는 "CCDF"는 이미 보완 적 누적 분포 함수 의 약어로 사용되므로 일부 사용자는 "생존 함수"S를 선호합니다.$(t)$후자는 엄밀히 말하면 RV에 대한 것이지만 CCDF는 RV에서 온 것이 아닙니다. 1-CDF와 같은 함수로 확률과 관련이있을 수 있지만 반드시 그럴 필요는 없습니다. 예를 들어 PDF는 종종 확률이없는 상황을 나타내며 PDF에 대한보다 일반적인 용어는 "밀도 함수"입니다. 하나,$df$이미 "자유도"로 간주되어 전체 문헌이 "PDF"로 고정되어 있습니다. 그래서 DIPDF, "PFD의 이중 적분, 즉 약간 긴 것입니다. DIDF? 누적 분포 (밀도) 함수의 적분을위한 ICDF? 누적 분포의 적분 인 ICD는 어떻습니까? 나는 그것을 좋아합니다. 짧고 말합니다. 모든.

@whuber는 아래의 그의 의견에서 이러한 기능이 어떻게 사용되는지에 대한 몇 가지 예를 제공하고 "맞습니다. stats.stackexchange.com/a/446404/919에서 CDF의 특정 정수 적분에 대한 일반 공식을 설정합니다. 또한 통계와 밀접한 관련이 있습니다. .stackexchange.com / questions / 413331, stats.stackexchange.com/questions/105509, stats.stackexchange.com/questions/222478 및 stats.stackexchange.com/questions/18438-더 많은 것이 있다는 것을 알고 있습니다. "

@whuber의 기여 덕분에이 질문의 텍스트는 이제 이전 버전보다 더 명확 해졌습니다. @SextusEmpericus에게 후회합니다. 우리 둘 다 이것에 너무 많은 시간을 보냈습니다.

그리고 받아 들여진 대답은 "초 누적"분포입니다 . 그 이름은 눈에 띄고 이전에 사용 되었기 때문입니다. 솔직히 말하지 않고는 알지 못했을 것입니다. 그래서 결국 제가 물었습니다. 이제 처음으로 SCD를 두문자어로 정의합니다. 나는 다른 곳과 달리 두문자어를 원했습니다.$S(x)$ SCD에 사용됩니다.$(x)$(이름은 언급하지 않고) 혼동을 일으키지 않을 정도로 독특한 것을 원했습니다. 이제 당연히 내 작업에서 순전히 통계적 맥락 밖에서 SCD를 사용하고 있을지 모르지만 모든 사람이 PDF를 사용 하기 때문에 말할 p 가없는 경우에도 그것은 기껏해야 악죄입니다.

편집 : 추가 고려 사항에 따라 pdf를$f$ 예를 들어 $f(x)$, CDF $F(x)$ 이중 적분 $\mathcal{F}(x)$ 일을 더 간단하게 만들기 위해서입니다.

답변

2 Dayne Dec 19 2020 at 09:35

나는 여기서 Avinash Dixit 교수 가 Stochastic Dominance 에 대한 그의 강의 노트 에서 CDF의 적분에 대한 한 용어를 언급하고 있습니다 . 분명히 이것은 일반적으로 받아 들여지는 용어가 아닙니다. 그렇지 않으면이 스레드에서 이미 논의되었을 것입니다.

그는 그것을 초 누적 분포 함수 라고 부르며 Second Order Stochastic Dominance의 동일한 정의에 사용됩니다. 허락하다$X$ 과 $Y$ 두 rv가 $E(X) = E(Y)$동일한 경계 지원이 있습니다. 또한$S_x(.), S_y(.)$ 각각의 슈퍼 누적 분포 함수입니다.

우리는 말한다 $X$ 2 차 확률 론적 우위 $Y$ iff $S_x(w) < S_y(w)$ 모든 값에 대해 $w$ 지원 $X, Y$.

First Order Stochastic Dominance의 경우 조건이 단순히 super-cdf 대신 CDF로 대체된다는 점도 흥미 롭습니다.

5 SextusEmpiricus Dec 16 2020 at 21:16

부인 성명

CDF의 적분은 무엇이라고해야합니까?

나는 "CDF의 적분"이라는 이름을 제안한다. 이 적분에 대해 직관적 인 것이 없다면 나는 왜 우리가 다른 이름을 목표로해야하는지 모르겠습니다. 다음 답변은 현재 상태가 PDF의 이중 적분 또는 CDF의 적분 뒤에 직관적 인 아이디어가 없다는 것입니다 (그리고 예제는 CDF의 적분의 예가 아님). 질문에 대한 직접적인 대답이 아닙니다 (대신 질문에 대답 할 수없는 이유에 대한 대답입니다).

이것은 이름을 제시하는 대답이 아닙니다. 답변을 얻는 데 도움이 될 수있는 여러 의견의 요약입니다.

현재로서는 확률 밀도 함수의 이중 적분이 의미하는 바가 무엇인지 명확하지 않습니다. 두 가지 예에는 몇 가지 문제가 있습니다. 1 여러분의 예는 확률이 아니라 물리학입니다. 확률 밀도의 이중 적분에 대한 사용이 있습니까? 2 또한 예제는 이중 통합의 예제가 아닙니다.

이 답변에서 나는 왜 pdf의 이중 적분이 문제가되는지에 대해 논할 것입니다 * **, 그리고 아마도 이것은 예를 명확히하고 결국이 적분의 이름에 대한 영감으로 이어질 수 있습니다.

* 적분의 몇 가지 개념이 있습니다. $1-CDF$ 질문 에서처럼 :

적분에 의한 랜덤 변수의 기대 값 $1-CDF$ 하한시 $a\neq 0$? 적분은$$\int_a^\infty 1-CDF(x) dx$$
실제로 호출되는 예상 부분 값 함수는 무엇입니까? 적분은$$\int_{-\infty}^a 1-CDF(x) dx$$

그러나 나는 통합하는 아무것도 모른다 $CDF$

** 문제가 있다는 것은 광범위한 속성의 통합이지만 분리 된 집합을 추가하는 방식이 아니라는 것을 의미 합니다. 또는 적분$dx$ 공간의 척도는 우리가 1-CDF (x)에 의해 더하고 무게를 측정 한 양입니다. 따라서 우리는 그것을 합산으로 직관적으로보아야합니다. $dx$.

적분 이상 $1-F(x)$ 분위수 함수를 통해 합계로 변환 할 수 있습니다. $\int_0^b (1-F(x)) dx = \int_{F(0)}^{F(b)} Q(p) dp$이들로는 관련된 역함수 적분 적분 위에 만들기$1-F(x)$분위수 함수에 대한 적분에 해당합니다. 적분을 위해$F(x)$당신은 동일한 동등성을 가지고 있지 않습니다. 이 동등성이 없으면 그러한 적분의 사용에 대한 어떤 직관도 볼 수 없으며 이름을 찾기가 어려워집니다.

밀도

밀도의 의미는이 질문에서 주제였습니다. 확률 밀도 함수 (PDF)에서 "밀도"는 정확히 무엇을 의미합니까?

이 질문에 대한 대답에서 밀도를 Radon-Nikodym 파생물 과 관련시킵니다.

동일한 공간에서 두 측정 값의 비율로 밀도. $$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
이 두 가지 수량 / 측정은 광범위한 속성입니다. 비율은 집약적 인 재산입니다
이 밀도를 통합하면 광범위한 속성 을 얻을 수 있습니다.$$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$

따라서 확률 밀도 (또는 예제에서 사용 된 정규화 된 밀도)의 적분은 결과로 '확률'을 제공합니다. 그러나 광범위한 속성 '확률'의 적분은 명확한 사용이없는 값을 제공합니다.

예 2

두 번째 예인 일부 방사성 물질의 붕괴에서 이중 적분은 집약적 특성의 이중 적분으로 인한 것이 아닙니다.

재료의 양 $M(t)$ 미분 방정식을 따릅니다 ( $\dot{}$ 시간의 차별화 참조) :

$$\dot{M}(t)= -\frac{ln(2)}{\tau} \cdot M(t) = -\lambda \cdot M(t)$$

어디 $\tau$ 하프 타임이고 $\lambda$붕괴 속도입니다. 해결책은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rlcrcl} \text{amount of mass} &[mass] &:& & M(t) &=& 1-e^{-\lambda t} \\ \text{loss rate} &[mass/time]&:& & \dot{M}(t) &=& \lambda e^{-\lambda t} \\ \end{array}$$

그 미분 방정식 때문에 우리는 $\dot{M}(t)$ 또는 $M(t)$ 사용하여 itselve의 적분으로 $M(t) - M(r) = - \int_t^r \dot{M}(s) ds$ 그리고 만약 $M(\infty) = 0$ 그때

$$M(t) = M(t) - M(\infty) = - \int_t^\infty \dot{M}(s) ds = \lambda \int_t^\infty {M}(s) ds $$

귀하의 예에서는 총 손실을 계산합니다. $Q(a,b)$ (관련 평균 손실은 $Q(a,b)/(b-a)$)에서 일정 기간 $a$ ...에 $b$질량의 함수로. 그런 식으로 이중 적분을 얻습니다.

$$\begin{array}{rrcl} \text{total loss between $ㅏ$ and $비$} :& Q(a,b) &=& \int_a^b \dot M(t) dt = M(b) - M(a)\\ &&=& \int_a^b -\lambda M(t) dt \\ &&=& \int_{a}^b - \lambda \left(\lambda \int_t^\infty {M}(s) ds \right) dt \\ && =& - \lambda^2 \int_{a}^b \int_t^\infty {M}(s) ds dt \end{array}$$

BTW. 이 예에서 적분$\int_t^\infty {M}(s) ds$ 실제로 CDF의 적분과 관련이 없지만 대신 생존 함수의 적분입니다.

따라서이 예에서 이중 적분은 관계에서 배열됩니다. $\dot{M}(t) \propto M(t)$그리고 그것은 집약적 속성 '밀도'의 이중 적분이 아닙니다. 요인이 있습니다$\lambda$ 단위 포함 $[1/time]$ 광범위한 속성 '질량의 양'을 집중 속성 '손실률'로 변경합니다.

pdf를 두 번 적분하는 것은 의미가 없으며 미분 방정식을 통해서만 의미를 얻습니다.

이것은이 이중 적분이 발생하는 예에서 적분의 실제 물리적 의미를 사용하여 이중 적분에 '이름을 부여'할 수 있음을 나타냅니다.

BTW, 귀하의 예에서 평균 방사선 노출 (분수)은

$$\dfrac{\text{CDF}(t_2) - \text{CDF}(t_1)}{t_2-t_1} \quad \text{with units} \frac{1}{[time]}$$

대신에

$$\dfrac{\int_{0}^{t_2}\text{CDF}(t)\,d t-\int_{0}^{t_1}\text{CDF}(t)\,d t}{t_2-t_1} \quad \text{with units} \frac{[time]}{[time]}$$

단위별로 볼 수 있습니다. 방사선 노출의 총 부분은 단위가 적습니다. 방사선 노출의 평균 비율에는 단위가 있어야합니다.$[1/time]$. 계수$\lambda$ 표현식에 올바른 치수를 제공하기 위해 누락되었습니다.

예 1

수량은 그 자체의 적분이므로 하나의 적분을 위아래로 이동할 수 있습니다. 이것은 또한 '감마-파레토 컨볼 루션과 개에서 메트포민 약동학을 특성화하는 기존 방법과의 비교'라는 주석에서 링크 한 기사에서 분명합니다 .Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics volume 47, pages19-45 (2020) .