대수적 다양성의 투영에는 몇 개의 구멍이있을 수 있습니까?
허락하다 $V$ 폐쇄 형 $\mathbf{P}^n$. (대수적으로 닫힌 필드에 대해 작업합니다.) 정의$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ 으로 $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, 어디 $P_0$ 요점이다 $(0,0,...,0,*)$ 에 $\mathbf{P}^n$.
을 텐데 $\pi$ 모두에서 정의되었습니다 $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ 닫힌 하위 변수가 될 것입니다 $\mathbf{P}^{n-1}$. 그렇지 않습니다.$V$ 폐쇄 된 하위 변수 일 필요는 없습니다. $\mathbf{P}^{n-1}$. (쉬운 예 :$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) 여전히 그렇게 말할 수 있습니까? $\pi(V)$ 포함 $\overline{\pi(V)}\setminus W$, 어디 $W$ 에서 양의 공 차원의 닫힌 하위 변수입니다. $\overline{\pi(V)}$ 및 학위 $\leq \deg(V)$, 말? 어떻게?
답변
형태를 얻기 위해 폭파 $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. 허락하다$\widetilde{V}$ 적절한 변형 $V$ 에 $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. 그때$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.
이제 우리는 쓸 수 있습니다 $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ 어디 $C_{P_0}V$ 접선 원뿔 $V$ ...에서 $P_0$.
그래서 $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (당신의 표기법에서 $\pi(V)$) 포함 $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.
위에서 언급했듯이 $\Pi(\widetilde{V})$ 같음 $\overline{\pi(V)}$. 게다가,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ 예외적 제수의 닫힌 하위 집합입니다. $E$, 및 $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ 동형입니다.
그래서 우리는 $\pi(V)$ (당신의 표기법에서) 포함 $\overline{\pi(V)} \setminus W$ 어디 $W \subset \mathbf P^{n-1}$ 접선 원뿔의 투영에 대한 닫힌 하위 집합 동형입니다. $V$ ...에서 $P_0$.
닫힌 세트 $W$ 차원이있다 $\operatorname{dim}(V)-1$. 반면에$\pi(V)$ 치수가 $V$ 아니면 $V$ 꼭지점이 포함 된 원뿔입니다. $P_0$,하지만이 경우 $\pi(V)$ 닫힌 세트입니다.
정도에 관해서는 $\mathbf P(C_{P_O}V))$의 하위 계획 으로$E$ 의 다중 성과 같습니다. $V$ ...에서 $P_0$, 따라서 위에 의해 제한됩니다 $\operatorname{deg}(V)$. 이후$W$이 체계의 기본 폐쇄 부분 집합 (동형)이며, 그 정도는 체계의 정도보다 크지 않습니다. 그래서 우리는$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ 필요에 따라.