델타 델타 분포의 반대
다변량 dirac 델타 분포는-다소 직관적으로-다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
어디
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$
그것의 "반대"가 있습니까?
\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
어디도
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$
?
이 배포판에 대한 이름 및 / 또는 기호가 있습니까?
맥락 : 나는 그것들을 convolutions에서 사용할 계획이고 나는 그것들을 확률 밀도로 취급하고 있습니다.
답변
두 한계 $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$분포에 대한 완벽하게 엄격한 정의이며, 첫 번째 는 분포의 의미에서 다음과 같이 수렴 합니다.$\delta$ 그리고 두 번째는 $0$.