두 개의 정다각형 면적의 비율

Question

아래 그림의 다각형은 모두 정다각형 (정다각형)으로 정점을 공유하고 주황색 선이 두 정다각형의 세 정점을 교차하며 작은 정다각형과 큰 정다각형의 면적은 다음과 같이 표시됩니다. $S_1$, $S_2$, 뭐가 $\frac{S_1}{S_2}$?

추가 질문 (일반 9면 다각형)

Answer 1

계산을 거치지 않을 것이지만 이것이 아이디어입니다.

처음부터 $\triangle ADE$ 과 $\triangle BDF$ 비슷합니다. $AE$ 지나가 다 $G$.

이제 우리는 계산할 수 있습니다 $DG$,$GC$,$AG$ 왼쪽 칠각형을 기준으로 $AD\parallel CE$ 우리는 계산할 수 있습니다 $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. 또한 우리는$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.

따라서 $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.

당신이 허락한다면 $a=DG,b=DA,c=DB$, 여기에 몇 가지 정체성이 있습니다.

신원을 사용하여 $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

새로운 편집 : 실제로 방금 실현 $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ 그래서 $GE$ 실제로는 $b$.

이제 계산은 정말 간단합니다.

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

따라서 면적은 정확히 두 배입니다.

Answer 2

부품 솔루션 $2$ (추가 문제) :

허락하다 $I$ 지점이 될 $AD$ circumcircle을 교차 $O$ 의 $\triangle ABC$. 잇다$IO$. 이후$AI$ 각도 이등분 $BI=CI$.

사다리꼴이보기 쉽다 $BDEC$ 에 대해 대칭입니다 $IO$. 더욱이$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ 그래서 $\angle IBD=50^{\circ}$.

이제 $\angle IDB=x$. 위의 정보를 사용한 각도 추적으로 우리는$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.

만약 $ID>DB=DE$, 그러면 우리는 $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ 과 $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ 그래서 $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ 불가능합니다.

만약 $ID<DB=DE$, 그러면 우리는 $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ 과 $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ 그래서 $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ 불가능합니다.

따라서 $ID=DB=DE$ 과 $\triangle IDE$ 등변이므로 $\angle IDE=60^{\circ}$ 과 $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. 따라서$BD \perp AC$.

($N$ 그냥 $C$ 레이블이 다시 지정됨)

나머지는 한 번 간단합니다 $BD\perp AC$. 우리는 찾을 수있어$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.

이후 $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ 면적 비율은 정확히 $3$.