거리 계산 방법 $k=0$ 안정제 코드?
이것은 " 안정기 코드의 거리를 계산하는 방법? " 이라는 질문에 대한 후속 조치로 볼 수 있습니다 . 받아 들여지는 대답 요약 : 거리는 세트의 최소 무게입니다.$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ 어디 $S$ 안정제 그룹입니다 (생성 된 $K_n$이전 질문에 있음) 및 $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ Pauli 그룹의 노멀 라이저입니다. $2^{2N+1}$ (어디 $N$= 큐 비트 수; 여기에서 그룹의 실제 버전 사용).
내 질문은 다음과 같습니다. $k=0$안정제 코드? 나는 그것이 항상 유지되지는 않지만 그것에 대한 참조를 찾을 수 없다고 생각합니다 ... 대부분의 경우에 작동하는 것처럼 보이지만 몇 가지 간단한 카운터 예제도 쉽게 찾을 수 있습니다 .GHZ 상태를 가져옵니다.$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$,와 함께 $K_1=X_1X_2$ 과 $K_2=Z_1Z_2$. 이 경우$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, 그래서 세트 $E$비었다. 이 과정에서 뭔가 분명히 깨졌습니다. 거리는 2가되어야한다고 생각합니다. 여기서 무슨 일이 일어나고 있습니까?
답변
경우에 유의하십시오 $k = 0$, 안정제 '코드'는 $2^0 = 1$힐베르트 공간의 차원 부분 공간, 즉 단일 안정기 상태로 구성됩니다. 이것은 코드의 '거리'와 같은 기능에 다소 악영향을 미칩니다.
"코드 거리"는 궁극적으로 Pauli 연산자의 최소 가중치 측면에서 정의됩니다. $E$ Knill–Laflamme 조건에 따라 '감지 불가능'(정체와 구별 가능)이 아닙니다. $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ 어디 $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$코드의 상태입니다. 1 차원 부분 공간의 경우 하나의 상태 만 있습니다.$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. 따라서 우리는$j,k \in \{ 0 \}$, 그래서 $\delta_{j,k}$ 용어는 항상 같음 $1$. 그러나 그것은 단순히 정의함으로써$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, Knill–Laflamme 조건은 항상 충족됩니다. 따라서 코드의 '거리'는$k = 0$ 안정제 코드는 빈 세트에 대한 최소값입니다.
안정기 코드에 대해 덜 추상적 인 접근 방식을 사용하여 코드의 노멀 라이저에있는 Pauli 연산자의 가중치를 고려할 때 코드 공간을 그 자체에 매핑하지만 a에 비례하지 않는 연산자에 대해 이야기하고 있음을 명심하십시오. 안정제 그룹의 구성원. 이 아니라면$k = 0$ 상태를 매핑하는 연산자 $\lvert \psi \rangle$그 자체에 필연적으로 안정기에 비례하므로 그러한 연산자는 존재하지 않습니다. 다시 한 번, 빈 연산자 집합에 대한 최소 가중치를 고려하고 있습니다.
관례에 따르면 거리가 무한 하다고 말하는 것이 현명 할 수 있습니다 . 그러나 실제로는 거리가 정의되지 않았다고 말하는 것이 좋습니다.
고전 종이에서 https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, 페이지 10, $[n,0]$코드는 코드에서 안정제의 가장 작은 0이 아닌 가중치로 정의됩니다. 이 정의에 대한 물리적 해석은 "An$[[n, 0, d]]$ 코드는 다음과 같은 양자 상태입니다. $[(d − 1)/2]$ 어떤 좌표가 분리되었는지 정확히 확인할 수 있습니다. "