기본적인 Homotopy 질문
나는 Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C의 "Rational Homotopy Theory"라는 책을 읽기 시작했습니다. 토마스와 나는 처음에 대한 빠른 질문을 가지고 있습니다 (이는 공간에서의 기본 동형 이론에만 관련되고 합리적 동형 이론조차도 아닙니다). 이 책은 "Whitehead 's Lifting Lemma"라는 결과를 Lemma 1.5 (p. 12)로 증명합니다.
(반드시 교환이 아닌) 다이어그램이 있다고 가정합니다. \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} 및 a와 동 형체$H: A \times I \rightarrow Z$ ...에서 $\psi i$ ...에 $f\varphi$.
취하다 $(X,A)$ 상대적인 CW 복잡하고 $f$약한 동질성 동등성입니다. 그때$\varphi$ 과 $H$ 각각지도로 확장 가능 $\Phi: X \rightarrow Y$ 및 동형 $K: X \times I: \rightarrow Z$ ...에서 $\psi$ ...에 $f \Phi$.
그런 다음 책은 몇 가지 추론으로 계속됩니다. 내 질문은 다음과 같습니다. 다음 진술은 Whitehead의 Lifting Lemma의 추론입니까?
만약 $(X, A)$ 상대적인 CW 복잡하고 $A$ CW-complex의 homotopy 유형을 가지고 $X$ 호모 토피 유형의 CW- 복합체가 있습니다.
CW-complex를 구축하여이 결과를 증명할 수있을 것 같아요 $\tilde{X}$ ...에서 $\tilde{A}$ (에 상응하는 복잡한 $A$) 첨부 된지도를 사용하여 세포를 접착하여 $(X, A)$, 그리고 각 스켈레톤 에서 푸쉬 아웃에서 동등성의 보존 결과를 사용합니다 ( 코피 브레이션과 함께 푸쉬 아웃 스퀘어 에있는 Homotopy 동등성. 내가 생각하는 책의 뒷부분에 나타납니다.
모든 통찰력을 환영합니다, 건배!
답변
허락하다 $A$ CW 콤플렉스이고 $X$ 에서 얻은 $A$유도 적으로 세포를 부착하여 쓰다$i:A\hookrightarrow X$ 포함을 위해.
시작하자 $p:\widetilde X\rightarrow X$CW 근사치 (일명 셀룰러 모델, Th.1.4 참조)입니다. 이후$A$ CW 콤플렉스 약한 동등성 $p$ bijection을 유도 $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(Co.1.6 참조). 따라서지도가$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ 호모 토피와 함께 $H:p\widetilde i\simeq i$. 이제 다이어그램 \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X를 고려하십시오. \ end {array} Lemma 1.5의 가정이 충족되었으므로 맵이 있습니다.$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ 그런 $\varphi i=\widetilde i$ 과 $p\varphi\simeq id_X$. 그러므로$X$ CW 단지의 (homotopy) 철회입니다 $\widetilde X$, 그리고 바로이 후 $X$ CW homotopy 유형이 있습니다.
이제 마지막 사실은 언급 된 일반성에서 사실이지만 현재 상황에 대해 더 정확한 진술을 설정할 것입니다. $X$ 호모 토피는 $\widetilde X$ 예상대로.
이 통지를 위해 $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ 소요 $\varphi p$ ...에 $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. 하지만$p$ 유도 된 맵은 bijective이므로 약한 동등성이므로 방정식은 $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ 그것을 의미 $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. 따라서 우리는 주장이 있습니다.