허락하다 $\alpha$ 뿌리가되다 $(x^2-a)$ 과 $\beta$ 뿌리가되다 $(x^2-b)$. 조건 제공 $a$ 과 $b$ 가지다 $F=K(\alpha+\beta)$.
질문 : 하자$K$ 2와 다른 특성의 분야가 되십시오. $F$ 쪼개지 다 $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$. 허락하다$\alpha$ 뿌리가되다 $(x^2-a)$ 과 $\beta$ 뿌리가되다 $(x^2-b)$. 조건 제공$a$ 과 $b$ 가지다 $F=K(\alpha+\beta)$.
나의 시도 :
허락하다 $\alpha=\sqrt{a}$, $\beta=\sqrt{b}$ 과 $\gamma=\alpha+\beta$. 우선, 우리는$F=K(\alpha, \beta)$분할 필드의 정의로 인해. 정의$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$.
그것을 보여 주자 $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$:
- 에서 $\gamma=\alpha+\beta$ 그 뒤에 \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
- 이제 우리는 $\sqrt{b}\in K(\gamma)$
실제로 양쪽을 곱하면 $(*)$ 으로 $\sqrt{b}$ 우리는 :
$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$. 그때$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$
- 유사하게, $\sqrt{a}\in K(\gamma)$, 이것은
$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$, 다음
$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$
내 의심 : 조건이없는 것 같아요$a$ 과 $b$ 그런 $\alpha=\sqrt{a}$ 과 $\beta=\sqrt{b}$, 그러나 확실하지 않습니다. 저는 이것을 어떻게 연결해야할지 모르겠습니다.$K$두 가지 특성이 다릅니다. 제발 도와 주 시겠어요?
답변
당신이 그것을 알게되면 $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, 기준 $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$, 다음과 같이 진행할 수 있습니다. $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ 행렬에는 행렬식이 있습니다. $4(b-a)$ 그래서 뒤집을 수 있습니다 $a\ne b$ 의 특성 이후 $K$ 아니다 $2$. 따라서,$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ 또한 기초이며 동일한 공간을 생성합니다. $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$.
결론 : 주요 조건은 $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, 또는 동등하게 $\beta \not\in K( \alpha)$.
이 접근 방식은 특성상 작동하지 않습니다. $2$ 때문에 $[K(\gamma):K]\le 2$ 이후 $\gamma^2 = a+b \in K$.
우리는 $x^2-a,x^2-b$ 돌이킬 수 없다 $K$ 과 $b\ne a$, 그렇지 않으면 문제가 사소하기 때문입니다.
만약 $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$그런 다음 그것을 보여$\sqrt{a}+\sqrt{b}$4 개의 서로 다른 켤레 가 있습니다.$char(K)\ne 2$) 이는 다음을 의미합니다. $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$.
만약 $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ 그때 $v\ne 0$ 그래서 $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ 암시 $u=0$. 이후$b\ne a$ 그때 $v\ne \pm 1$ 따라서 $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$.