이 적분에 대한 올바른 결과를 얻는 방법은 무엇입니까?

Question

내가 아는 한 Wolfram | Alpha는이 적분에 대한 올바른 솔루션을 제공하는 유일한 웹 사이트입니다 .$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ 결과로 주어진 함수를 유도하여 원래 함수를 얻습니다.

이것이 해결책입니다. $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

그러나이 비디오에서는 통합 프로세스가 정확 해 보이지만 잘못된 결과가 제공됩니다. 위와 같이 결과 함수를 파생해도 통합하려는 원래 함수가 생성되지 않으므로 결과가 잘못되었음을 알 수 있습니다.

올바른 결과를 얻어야하는데 방법을 모르겠습니다.

Answer 1

Ninad가 지적했듯이 이것은 비디오에 사용 된 프로세스와 동일한 부분 솔루션이며 다음 경우에만 유효합니다. $$\cos\frac t2$$ 긍정적 입니다.

이 ID로 시작하십시오.

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ 이것을 적분에 적용하려면 먼저 대체하십시오. $t = \sqrt x$, 그런 다음이 속성을 연속적으로 적용합니다. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$