만약 $r>0$ 과 $r\notin \mathbb{N}$, 평가하는 간단한 방법이 있습니까? $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$
허락하다 $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. 경험적으로 다음과 같은 관계를 발견했습니다.$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$특히, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. 참고$r$ 정수이고 유한 합계는 잘 정의되어 있지 않습니다. $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$따라서 이러한 의미에서 합계는 '취소'됩니다. Mathematica는 다음의 닫힌 형식을 반환합니다.$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$어느 때 $r\in\mathbb{N}$로 감소 이 질문에 ,하지만 난 나 자신 있음을 유도하는 방법을 모르겠어요. 아마도 나는 거기에 대한 답을 완전히 이해하지 못하지만 합계가 망원경이 아닐 때 같은 트릭이 적용되지 않는다고 생각합니다. 요약하면 내 질문은 다음과 같습니다.
- 누군가 폐쇄 형을 설명 할 수 있습니까?
- 유한 합이 무한 합의 음수 인 단순하고 개념적인 이유가 있습니까?
답변
다음은 총합의 계산입니다. $n=0$ ...에 $\infty$, 유한 합을 계산하는 방법으로 이어질 수 있습니다. 이후$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ 어디 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, 우리는 $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ 특히, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ 그래서 우리는 $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ 중히 여기다 $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ 우리는 $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ 또한, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ 그래서 우리는 정체성을 가지고 $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ 할때는 언제나 $r>1$.