Maxwell의 방정식이 과도하게 결정되지 않는 이유는 무엇입니까? [복제]

Question

여기 위키피디아에있는 표의 네 가지 미분 방정식을 고려하고 어느 시점에서든 전하 분포가없고 따라서 전류도 없다고 가정합니다. 전하가 없으면 네 가지 방정식은 다음과 같이 줄어 듭니다.

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

마지막 두 방정식은 자기장과 전기장이 각각 시간에 따라 어떻게 변하는 지 알려줍니다. 따라서 초기 자기장과 전기장이 주어지면 두 장의 미래 상태를 결정할 수 있어야합니다. 이로 인해 처음 두 개의 방정식이 중복되는 것처럼 보이므로 시스템이 과도하게 결정된 것처럼 보입니다. 그러나 그것들은 분명히 필요하기 때문에 나는 뭔가를 놓치고 있어야합니다. 처음 두 방정식은 단순히 초기 조건입니까?

Answer 1

처음 두 개의 Maxwell 방정식은 정적 전기장과 자기장을 설명합니다. 이 방정식으로부터 우리는 그러한 장의 기하학적 특성과이 장이 생성하는 힘의 선의 특성을 배웁니다. 첫 번째 (충전이있는 경우)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

모든 종류의 전하 분포에 대한 전기장의 형태를 결정합니다. 이것은 정전기 연구에 매우 중요합니다. 또한이 방정식을 사용하여 푸 아송 방정식을 유도 할 수 있습니다.

$$\nabla^2 V = -\rho$$

정전기 전위를 결정할 수 있습니다. $V$다양한 전하 분배를 위해. 또한 위의 Maxwell 방정식을 사용하여 Coulomb의 법칙을 도출 할 수 있습니다 (이 법칙이 반드시이 방정식의 직접적인 결과는 아니지만). 푸 아송 방정식은 또한 정전기 연구에서 매우 강력한 도구입니다. 이 방정식은 또한 반도체 물리학에서 강력한 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

두 번째로 언급 한 방정식은

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

매우 중요한 것을 말해줍니다. 자기 단극이 존재하지 않는다는 것입니다. 이 방정식의 수학적 의미는 자기 벡터 전위가 존재해야한다는 것입니다.$\vec A$ 어디

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

이것은 강력한 수학적 결과입니다. 이 자기 벡터 전위는 고전적인 전기 역학 및 양자 전기 역학에서 어디에나 있습니다.