모멘트 생성 기능 적용 $2t$

Nov 25 2020

Grimmet & Welsh에서 채택한이 문제에 문제가 있습니다.

만약 $X + Y$$X - Y$ 독립적입니다. \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} 어디 $X,Y$ 평균과 독립 rv입니다 $0$, 분산 $1$$M(t)$ 한정된.

그것을 증명하는 방법? 않습니다$X$$Y$정규 분포가 필요합니까? 감사합니다!

답변

2 angryavian Nov 25 2020 at 09:37

힌트 :

  • $M(2t) = E[e^{2tX}]$
  • $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
  • $M(-t) = E[e^{-tY}]$
  • $2X = (X+Y) + (X-Y)$
  • 만약 $U$$V$ 독립 확률 변수 인 경우 $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$.