무한히 많은 소수의 존재를 증명하기위한 기본 정리

Aug 18 2020

이 문제는 Gerstein의 Introduction to Mathematical Structures and Proofs 에서 나온 것 입니다. 문제의 부분 b는 무한히 많은 소수가 있다는 특정 종류의 증거를 제공하는 것입니다. 나는 필수 기본형 인 파트 a에 관심이 있습니다. 파트 a는 다음과 같이 명시됩니다.

만약 $n \ge 3$ 만족하는 소수 p가 있습니다. $n \lt p \le n!-1$.

힌트가 있습니다.

"소 약수 p를 고려하십시오. $(n-1)!-1$. p가 존재하는 이유는 무엇입니까? "

해결책에 대한 나의 시도는 다음과 같습니다.

p는 모든 정수에 소수가 있기 때문에 존재합니다. k 번째 소수의 경우$p_k$, 정의

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ 어디 $p_i$ i 번째 소수입니다.

기호 p는 다음의 소수를 나타냅니다. $(n-1)!-1$. 내 추측은$p!!+1$프라임입니다. 필요한 범위에 있음을 보여 주면됩니다.

나는 그것을 증명하지는 않았지만 합리적이다. $p!!+1 > n$.

$p!!$는 n보다 작은 정수의 곱이며, 각각은 p보다 작거나 같으며 n보다 작거나 같습니다. 그래서$p!!+1\le n!-1$ 그리고 주장 된 증거는 완전 할 것입니다.

이 주장에 어떤 장점이 있습니까? 그렇지 않은 경우 제안을 어떻게 입증 할 수 있습니까?

답변

2 BrianM.Scott Aug 18 2020 at 09:46

$13!!+1=30031=59\cdot509$ 소수가 아니므로 인수가 작동하지 않습니다.

그러나 확실히 사실입니다 $n!-1$ 소수가있다 $p$, 그리고 명확하게 $p\le n!-1$, 그래서 우리는 $p>n$. 이후$p\mid n!-1$, 명확하게 $p\not\mid n!$; 그러나 모든 양의 정수$\le n$ 분할 $n!$, 그래서 $p$ 수 없습니다 $\le n$. 따라서 우리는$n<p\le n!-1$.