논리-재료 조건부와 관련된 1 차 논리 줄이기

Question

한다고 가정 $$ \forall x \forall y: P(x,y) \implies Q(x) $$ 과 $$ \forall x \exists y: P(x,y) $$

그런 다음 결론을 내릴 수 있습니까? $$ \forall x: Q(x) $$

그것이 사실이라면 그 이유는 무엇입니까?

내가 시도한 것 :

$$ \begin{align} &\forall x \forall y: P(x,y) \implies Q(x)\\ &\iff \forall x \forall y:\lnot P(x,y) \lor Q(x)\\ &\iff \forall x: (Q(x) \lor \forall y:\lnot P(x,y))\\ &\iff \forall x: (Q(x) \lor \lnot (\exists y:P(x,y))) \end{align} $$ 결과를 다음과 결합 $\forall x \exists y: P(x,y)$, 나는 결론을 내렸다 $Q(x)$ 모두에게 사실이어야한다 $x$ 이후 $\lnot (\exists y:P(x,y))$ 항상 거짓입니다.

$$ \begin{align} &\forall x: (Q(x) \lor \lnot (\exists y:P(x,y))) \land \forall x \exists y: P(x,y)\\ &\iff \forall x: ((Q(x) \lor \lnot (\exists y:P(x,y))) \land \exists y: P(x,y))\\ &\iff \forall x: (Q(x) \land \exists y: P(x,y))\\ &\implies \forall x: Q(x) \end{align} $$

Answer 1

모두 맞습니다. 마지막 단계에서는 실제로 배포를 사용할 수 있습니다.$\forall$ 위에 $\land$ 다시:

$$\forall x : (Q(x) \land \exists y : P(x,y))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\forall x : Q(x) \land \forall x \exists y : P(x,y))$$

$$\Rightarrow$$

$$\forall x : Q(x)$$

아직 공식적인 파생어를 배우지 않았습니까?

Answer 2

그것이 사실이라면 그 이유는 무엇입니까?

$\def\boxit#1{\bbox[lemonchiffon,0.5ex]{#1}}$우리는 전제를 가지고 $\boxit{\forall x~\forall y:(P(x,y)\to Q(x))}$ 과 $\boxit{\forall x~\exists y:P(x,y)}$. 임의의 변수를 취하면$\boxit a$, 그런 다음 두 번째 전제에서 감시 변수가 있음을 추론하고 $\boxit b$, 만족 $\boxit{P(a,b)}$. 이러한 변수에 대해 우리는 또한 첫 번째 전제에서 추론합니다.$\boxit{P(a,b)\to Q(a)}$만족할 것입니다. 따라서 modus ponens에 의해 우리는$\boxit{Q(a)}$만족합니다. 이후$\boxit b$ 이 진술에서 발생하지 않으며 $\boxit a$ 임의적이므로 우리는 $\boxit{\forall x:Q(x)}$ 이러한 전제에 수반됩니다.

$$\def\fitch#1#2{~~~~{\begin{array}{|l}#1\\\hline#2\end{array}}}\fitch{~~1.~\forall x\,\forall y:(P(x,y)\to Q(x))\hspace{3.5ex}\textsf{Premise}\\~~2.~\forall x\,\exists y:P(x,y)\hspace{14ex}\textsf{Premise}}{\fitch{~~3.~\boxed a\hspace{23.5ex}\textsf{Assumption (Arbitrary)}}{~~4.~\forall y:(P(a,y)\to Q(a))\hspace{4ex}\textsf{Universal Elimination, 1}\\~~5.~\exists y:P(a,y)\hspace{14.5ex}\textsf{Universal Elimination, 2}\\\fitch{~~6.~\boxed b~P(a,b)\hspace{13.5ex}\textsf{Assumption (Witness)}}{~~7.~P(a,b)\to Q(a)\hspace{8ex}\textsf{Universal Elimination, 4}\\~~8.~Q(a)\hspace{18.5ex}\textsf{Conditional Elimination, 6, 7}}\\~~9.~Q(a)\hspace{21.5ex}\textsf{Existential Elimination 5, 6-8}}\\10.~\forall x:Q(x)\hspace{19.75ex}\textsf{Universal Introduction, 3-9}}$$