Peter Baxandall의 Rigid Transformation을 사용한 공간 곡선의 기본 정리 증명 (Vector Calculus)
나는 다음과 같은 방식으로 공간 곡선의 기본 정리 (비틀림과 곡률이 동일한 곡선은 아마도 위치를 제외하고는 동일 함)를 증명하는 Peter Baxandall의 벡터 계산법을 읽고 있습니다.
증거에서 저자는 다음과 같이 말합니다. $p \in E$. 보류$C_g$ 고정 및 이동 $C_h$ 단단히 $\Bbb R^3$ ...까지 $T_h(p) = T_g(p) , \cdots$. 나는 저자가 그렇게 할 수있는 동기와 메커니즘을 명확하게 보지 못합니다. 나는 곡선의 길이를 보존하는 것으로 엄격한 변형을 이해합니다. 그러나 단위 탄젠트 벡터를 만들기 위해 회전을 사용해야 할 수도 있습니다.$T_g$ 과 $T_h$똑같다. 그러나 마지막 줄에서 그는 궁극적으로$C_h$ 의 번역이다 $C_g$.
또한 두 곡선의 비틀림과 곡률이 동일하다는 사실을 저자가 어디에서 사용했는지 알 수 없었습니다 .$$\phi = T_g \cdot T_h + N_g \cdot N_h + B_g \cdot B_h \\ \implies \phi' = T_g' \cdot T_h + T_g \cdot T_h' + N_g' \cdot N_h + N_g \cdot N_h' + B_g' \cdot B_h + B_g \cdot B_h'$$. 그러나 그 이후로 우리는 이미 다음을 가지고 있습니다.$T_g=T_h,N_g=N_h,B_g=B_h$, 따라서 : $T_g⋅T_h'=0=T_g'⋅T_h$. 유사하게 다른 사람들의 경우 각 내적은$0$. 우리는 두 곡선의 비틀림과 곡률이 같다는 사실을 사용하지 않는 것 같습니다.
누군가 실제로 무슨 일이 일어나고 있는지 설명해 주시겠습니까? 감사합니다!
노트 : $T,N,B$ 접선, 법선 및 이중 법선 단위-각각 벡터를 나타냅니다.
답변
진술은 $C_g$ 과 $C_h$"동등, 최대 움직임"입니다. 그의 증거에서 저자는$C_h$ 합동 사본에 의해 (다시 표시 $C_h$) 다음과 같은 방식으로 : 그는 $p\in E$ 회전을 적용합니다 $R$ 의 ${\mathbb R}^3$ 원래의 정규 직교 트리플이 $\bigl(T_h(p),N_h(p),B_h(p)\bigr)$ 트리플에 매핑됩니다 $\bigl(T_g(p),N_g(p),B_g(p)\bigr)$. 이 일정한 회전이$R$ 적용됩니다 $C_h$ 곡선 $R(C_h)=:C_h$ 아직 일치하지 않습니다 $C_g$, 그러나 (사실) $C_g$. 원할 때 번역을 추가로 신청할 수 있습니다$A$ 그런 $(A\circ R)(h(p))=g(p)$, 그러나 필요하지 않습니다. 독자로서 우리는 이동 된 곡선이$C_h$ 원본과 일치합니다. $C_h$.
증명의 어려운 부분은 새로운 $C_h$ 에 합동 $C_g$. 여기서는 Frenet 공식이 사용됩니다. 실제로 계산해야합니다.$\phi'$ 평등을 확인하기 위해 $s\mapsto\kappa(s)$ 과 $s\mapsto\tau(s)$ 두 곡선이 $\phi'=0$: $$\eqalign{\phi'&=(T_g\cdot T_h+N_g\cdot N_h+B_g\cdot B_h)'\cr &=T_g'\cdot T_h+T_g\cdot T_h'+N_g'\cdot N_h+N_g\cdot N_h'+B_g'\cdot B_h+B_g\cdot B_h')\cr &=\kappa N_g\cdot T_h+\kappa T_g\cdot N_h+(-\kappa T_g+\tau B_g)\cdot N_h+(-\kappa T_h+\tau B_h)\cdot N_g-\tau N_g\cdot B_h-\tau B_g\cdot N_h\cr &=0\ .\cr}$$
결국 "평등" $C_g$ 과 $C_h$ ODE 솔루션의 고유성 부분에서 비롯됩니다.