사실상 큰 소규모 그룹 그룹 (3 개 매니 폴드 관련)
왜 3- 다양체 그룹이 $G$ 그것은 사실상 $\mathbb{Z}\times F$, $F$되는 비 주기적 무료 또는 중 표면 그룹을 두 발전기에 대한 프레젠테이션을 인정하지 않습니다.
이들은 닫힌 3- 매니 폴드의 기본 그룹입니다. $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 기하학 (위의 취소 선 케이스가 비어 있지 않은 경계에 해당한다는 점을 지적 해 준 @HJRW에게 감사드립니다) 그리고 다른 모든 기하학은 기본 그룹이 2 인 예를 인정하고, 유클리드 기하학의 주목할만한 하이라이트는 모두 기본 그룹은 사실상 $\mathbb{Z}^3$(그리고 피보나치 매니 폴드 인 두 가지 예의 순위를 매 깁니다). 따라서 3 가지 다양체 그룹은 사실상 높은 등급 그룹 자체가 작은 등급임을 인정합니다. 물론 두 발전기의 자유 그룹이 사실상 임의적으로 높은 순위라는 것은 잘 알려져 있습니다.
그러나 Boileau & Zieschang , Theorem 1.1에 의해$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 다양체는 기저 표면의 속과 Seifert 섬유의 단 섬유 수 (최소한 3 개)에 따라 달라 지므로 사실상 $\mathbb{Z}\times F$ 그룹이 최소한 동일한 순위가되도록합니다.
이 하위 그룹이 아래에서 주변 그룹의 순위를 제한하는 원인은 무엇이며, 예를 들어 자유 그룹 또는 아벨 자유 $\mathbb{Z}^3$하지 마라? 여기에 기하학적 인 3 차원적인 이유가 있다면 기쁠 것입니다.하지만 제 일반 그룹 이론을 새롭게 해줘서 고맙습니다.
답변
문제는 Boileau와 Zieschang의 논문에서 정리 1.1을 잘못 해석했기 때문입니다. 정리 1.1은 공정한 수의 경우를 제외합니다. 특히 3 개의 단 섬유와 속 0의 염기가있는 (완전히 지향 된) 닫힌 Seifert 매니 폴드에는 적용되지 않습니다. 이러한 제외 된 Seifert 매니 폴드 중 일부는 순위에 대한 귀하의 주장에 대한 반례를 제공합니다.$\ge 3$.
예를 들어, 외관을 $N$ 의 $(p,q)$- 개미 자리 가 아닌 사소한 토러스 매듭 . 이 매듭의 속은$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(속 1을 가지는 개미 자리를 제외했기 때문에). 매니 폴드$N$ 섬유가있는 원 위의 표면 번들입니다 $F$ 한 번 구멍이 난 속의 표면 $g$. 이 섬유화의 단 드로 미는 유한 한 순서입니다 (실제로 순서는$pq$) 동종 성 $h: F\to F$. 따라서 경계를 축소하면$F$ 즉, 닫힌 표면을 얻습니다. $S$ 속 $g$ 과 $h$ 유한 질서 동종 성으로 투영됩니다. $f: S\to S$. 매핑 토러스$M=M_f$ Seifert 매니 폴드 유형 ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ Dehn이 경계를 채움으로써 얻은 $N$. Seifert 섬유의 기저부는 3 개의 특이점과 0 속을 가질 것입니다 : 단수 섬유 중 2 개는$N$ 하나는 연결된 단단한 원환에서 나옵니다. $\partial N$Dehn 충전의 결과. (쌍곡선 표면의 유한 차수 동종 성 매핑 토러스가 Seifert 유형의 매니 폴드라는 것은 일반적인 사실입니다.${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) 그룹 이후 $\pi_1(N)$ 2 생성, 몫 그룹 $\pi_1(M)$ 또한 2 생성됩니다.