실수 대칭 행렬의 고유 벡터는 모두 직교합니까?

Question

선형 대수에서 배운 것처럼 실제 대칭 행렬은 $A$ 항상 직교 고유 벡터가 있으므로 $A$ 그러나 실제 대칭 행렬의 고유 벡터는 모두 직교합니까?

사실로, $A$ 대각 화 가능하므로 가역성을 찾을 수 있습니다. $P$ 과 $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$하지만 증명할 수 없어 $P$ 직각입니다. $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ 그래서 $P^{T}PS=SP^{T}P.$이것은 그것을 보여줄 수 없습니다 $P^{T}P=I_{n}.$

그래서 이거 $P$직교? 그렇지 않다면 직교 고유 벡터와의 관계는 무엇입니까?

그런데 제가 강의 노트를 읽을 때이 문제가 발생했습니다.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf

나는 대칭 행렬이 직교 고유 벡터를 가지고 있음을 증명하는 그의 방식이 잘못되었다고 생각합니다.

도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

그 링크의 정리는 $A$"with orthogonal eigenvectors"는 훨씬 더 정확하게 기술되어야합니다. (직교 벡터와 같은 것은 없으므로 고유 벡터가 직교라고 말하는 것은 의미가 없습니다. 벡터 세트 는 직교인지 아닌지, 모든 고유 벡터 세트는 직교하지 않습니다.)

두 개의 고유 벡터가 직교라고 말하는 것은 명백히 거짓입니다. $x$ 고유 벡터이므로 $2x$. 사실은 다른 고유 값에 해당하는 고유 벡터가 직교한다는 것입니다. 그리고 이것은 사소한 것입니다.$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. 그때$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$그래서 $x\cdot y=0$.

PDF가 잘못 되었나요? 정리 진술 에는 심각한 문제가 있습니다 . 그러나 그가 실제로 의미하는 것이 내가 위에서 말한 것이라고 가정하면, 그것은 매우 간단하기 때문에 아마도 옳을 것입니다.

Answer 2

사실, 여러분은 대각 화하는 행렬이 $A$ 그것은 거짓이기 때문에 직교합니다.

예를 들어 $A=I$(단위 행렬). 모든 역행 행렬$P$ 대각선으로 $I$, 하지만 물론 $P$ 직교 할 필요는 없습니다.

만약 $A$ 있다 $n$ 고유 한 고유 값 (여기서 $A$ 이다 $n\times n$), 다른 고유 값에 해당하는 고유 벡터 가 직교 하기 때문에 진술이 참입니다 ( David C. Ullrich 답변 참조 ).

그렇지 않으면 고유 벡터를 기초로해야합니다. 그런 다음 각 고유 값에 대해$\lambda$, 당신은 다음에 해당하는 기초에서 고유 벡터를 취합니다. $\lambda$그리고 그것을 직교 화합니다. 그런 다음 고유 벡터의 직교 기반을 얻습니다.

그리고 네, 강의 노트의 증거가 잘못되었습니다. $A=I$,이 주장은 모든 역행렬이 직교임을 증명할 것이며, 이는 명백히 거짓입니다.