수술이 진짜 인 이유 $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ 그룹입니까?
위의 연산은 실수에 대한 그룹입니다. 0은 식별 요소이고 실수의 음수는 사소하게 관찰 할 수 있으므로 그 반대입니다. 연관성은 덜 사소하지만 유지됩니다.
실제로 홀수 (5, 7 ...)를 3으로 대체하면 작업이 그룹의 속성을 충족합니다. 그러나 짝수는 실패합니다.
기하학적 / 분석적 / ... 해석이 있습니까? $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ 연관성이 있고 결과적으로 그룹의 구조를 현실에 제공합니까?
답변
허락하다 $G$ 어떤 그룹이든 $X$ 어떤 세트이든 $f: X \rightarrow G$어떤 bijection이 되십시오. 그런 다음 그룹 구조를$G$ ...에 $X$ 설정하여 $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. 즉, 우리는 bijection을 사용합니다.$f$ 요소를 식별하기 위해 $G$ 및 요소 $X$, 그룹 구조를 $X$이 ID를 사용합니다. 이것은 실제로 그룹 구조를 정의하는 연습으로 남겨 둘 것입니다.$X$.
자, 받아 $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ 과 $f(x)=x^3$ 사건을 복구하기 위해.
만약 $f$ 실수의 이상한 bijection이고 연산
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
진짜를 그룹으로 만들고 $f$실수의 덧셈 그룹에서 해당 그룹으로의 동형. 귀하의 경우$f(x)=x^3$. 연관성은$f$ 동형입니다. $0$ 중립적 인 요소이고 $-x$ 역입니다 $x$. 여기 사실$f$ 홀수입니다.
들어 임의의 전단 사 함수$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, 작업 $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ 에 대한 그룹 법률입니다 $\mathbf R$. 이 모든 것은 각 실수의 이름을 바꾸면$x$ 같이 $f(x)$ 그런 다음 원래 그룹 법을 변환 할 수 있습니다. $+$ 단체 법으로 $*$ 그래서 $f$ 동형은 $(\mathbf R, *)$ ...에 $(\mathbf R,+)$. 직관은 기하학적이지 않고 대수적입니다. 마법 같은 것은 없습니다$n$홀수에 대한 뿌리 $n$ bijection이 아닌 것입니다.
쌍곡 탄젠트 함수 $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ 덧셈을 $\mathbf R$ 그룹 법률에 $(-1,1)$특수 상대성 이론 (1 차원 운동에 속도 추가)에서 사용됩니다. 스케일링 인자까지이 bijection의 역은 물리학에서“빠른 속도”라고합니다.
짧은 대답 : 왜냐하면 $\sqrt{x^2}\ne x$ ...에 대한 $x<0$.
내가 선호하는 긴 대답 $\cdot$ ...에 $\bullet$:
만족스러운 작업 $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ 현실을 닫습니다. $n$ 우리가 취할 수있는 이상한 $n$th 루트, & if $n$ 우리는 단지 $n$무언가의 뿌리 $\ge0$. 이후$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$작업이 연관됩니다. (의 힘을 취소$n$ 왜냐하면 $n$ 짝수이다, $\cdot$ 항상 음이 아닌 것으로 정의됩니다. $n$어쨌든 루트.) 그래서 최소한 우리는 세미 그룹을 형성합니다.
이후 $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, 홀수 $n$ 우리도 가지고있다 $0$ 정체성이지만 $n$ 우리는 왜냐하면 $x\cdot0=|x|$, 그래서 그것은 그룹은 말할 것도없고 monoid도 아닙니다 . 마지막 그룹 공리는 역입니다.$n$ 언급했듯이 $n$ 우리는 $x\cdot y\ge|x|$, 그래서 우리는 역도 없습니다.
힌트 :
연관성은 단순히 둘 다 $\;(x\bullet y)\bullet z$ 과 $\;x\bullet( y \bullet z)$ ~와 같다 $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$