특이점에 대한 리만 정리 (제거 가능)

Question

하자 $f(z)$ 분석적이고 $\vert f(z) \vert \leq \vert \sin({1\over z})\vert$ 의 위에 $\mathbb{C}^\# (= \mathbb{C} \setminus \{0\})$[더 이상 정보는 없지만 $f$]

놓다 $f(\frac{1}{z}) =g(z)$

내 강의 노트에서 그는 말했다 $h(z)$ 새로운 기능을 정의하여 전체 기능입니다 $h$(여기 $n\in \mathbb{Z}$)

$$h(z) = \begin{cases} g(z) \over \sin z & \text{$z \ neq n \ pi$} \\ \lim\limits_{z \to n\pi} \frac{g(z)}{\sin z} & \text{$z = n \ pi$} \end{cases}$$

그리고 그는 결론을 내 렸습니다. $h$ 에 상수입니다 $\mathbb{C}$(리우 빌 thm)

그러나 나는 그의 해결책에 대해 의문이 있습니다. 내가 왜 그렇게 생각하는지 제안하겠습니다. 적어도 나는 알고 있었다.$h$ 전체 (또는 Riemann thm 적용), $\frac{g}{\sin z}$ 제거 가능한 특이점이 있어야합니다. $0$. 그런 다음$z=0$ 에 대한 0입니다 $\sin z$, $g$ 분석 또는 제거 가능 $0$. 하지만 이후$g$ 에 대한 분석입니다 $\mathbb{C}^\#$,이 기능은 $z = 0$. 그러나 우리는 특이점의 유형이 무엇인지 확신 할 수 없습니다.$0$ ...에 대한 $g(z)$. 예를 들어$g(z)$ 에 본질적 특이점이 있습니다. $0$, 다음 $0$ 제거 할 수 없습니다 $g \over \sin z$. (나는 $\frac{g(z)}{\sin z}$ 본질적 특이점은 $0$, 우리는 한계를 정의 할 수 없습니다. $0$) 따라서 우리는 Riemann의 thm을 적용 할 수 없습니다. $0$ 이 경우. (즉 $h$ 특이점을 가질 수 있습니다. $0$[전체가 아님])

내 생각이 맞습니까? 아니면 그의 해결책이 맞습니까?

감사.

Answer 1

수학 모드에서 #을 입력하는 방법을 모르기 때문에 $\mathbb{C}^*=\{z\in\mathbb{C};z\ne 0\}$.

당신의 가설 $|f(z)| \le |\sin(\frac{1}{z})|, \forall z \in \mathbb{C}^*$ 방법 $|g(z)|=|f(\frac{1}{z})| \le |\sin(z)|, \forall z \in \mathbb{C}^*$. 같이$|g(z)| \ge 0$ 샌드위치 규칙을 사용하여 쉽게 결론을 내릴 수 있습니다. $\lim_{z \to 0}g(z) = 0$, 그래서 $g(z)$ 제거 가능한 특이점이 있습니다. $z=0$.

글쎄, 나는 그것이 도움이되기를 바랍니다 (나는 이것을 서둘러 썼고 나의 영어는 엉망입니다).