토폴로지 매니 폴드를 저 차원 교차로 세트로 분해
허락하다 $f:M\rightarrow N$ 각각에 대해 모델링 된 연결된 토폴로지 매니 폴드 간의 연속 함수 $\mathbb{R}^m$ 과 $\mathbb{R}^n$; $n,m\in \mathbb{Z}^+$. 우리는 항상 표지를 찾을 수 있습니까$\{C_i\}_{i \in I}$ 의 $N$ 다음과 같이 :
- $I$ 유한하다
- 그만큼 $C_i$ 정규 폐쇄 하위 집합입니다. $\overline{\text{int}(C_i)}=C_i$,
- $\text{int}(C_i)\cong \mathbb{R}^n$,
- $\text{dim}(C_i\cap C_j)<n$? 과$C_i\cap C_j$ Borel 세트입니까?
언제 $N$ 콤팩트하고 명확합니다. $N$지역 유클리드 이웃과 함께 폐쇄를 취하고 간결함을 사용하여 유한 세트로 줄입니다. 그러나 일반적으로 어떻습니까?
답변
나는 무시할 것이다 $M$ 과 $f$질문에서 역할을하지 않기 때문입니다. 컴팩트 케이스에 대해 제가 아는 것은 다음과 같습니다.
만약 $N$ 삼각 측량 또는 더 일반적으로 핸들 분해를 허용하고 하위 집합의 유한 모음을 허용합니다. $C_i$ 존재합니다.
모든 위상의 다양한 차원 $\le 3$ 삼각 측량을 인정합니다.
모든 위상의 다양한 차원 $> 4$ 핸들 분해를 허용합니다.
컴팩트 토폴로지 4 매니 폴드가 CW 컴플렉스의 구조를 허용하는지 여부는 알려지지 않았습니다.
편집하다. 귀하의 질문에 대한 답변이 모든 연결된 매니 폴드에 긍정적이라는 것을 방금 깨달았습니다. 두 개의 하위 집합도$C_1, C_2$충분합니다. 연결된 모든 토폴로지 n- 다양체에는 개방형 n- 볼에 대한 개방적이고 조밀 한 하위 집합 동종이 포함되어 있음을 나타내는 Berlanga-Brown 정리의 응용 프로그램입니다.
다음은 몇 가지 세부 사항입니다.
Berlanga in
R.Berlanga "위상 시그마-콤팩트 매니 폴드에 대한 매핑 정리", Compositio Math, 1987, vol. 63, 209-216.
Morton Brown의 초기 작업 (콤팩트 매니 폴드의 경우)을 일반화하여 모든 연결된 $n$차원 토폴로지 매니 폴드 $N$ 개방적이고 조밀 한 하위 집합 포함 $U$ 동종의 $R^n$. 나는 사건을 고려할 것이다$n\ge 2$ 상황 이후 $n=1$ 명확합니다.
허락하다 $A:= N - U$. 시퀀스 선택$x_i\in U$ 누구의 축적이 시작되었는지 $N$ 같음 $C$. 이후$U$ 동종이다 $R^n$, 하이퍼 서피스가 있습니다. $H\subset U$ 동종의 $R^{n-1}$, 시퀀스 포함 $(x_i)$ 및 분리 $U$ 두 개의 열린 부분 집합 $V_1, V_2$ 각 동종 $R^n$. 그런 다음 폐쇄$C_i$ 의 $V_i$ 에 $N$ 규칙적이고 (아래 참조) 교차로 $B=C_1\cap C_2$ 내부가 비어있다 $N$. 그러므로,$\dim(B)=n-1$. (일반적으로 내부가 비어있는 닫힌 하위 집합은$n$차원 다기관에는 덮는 차원이 있습니다 $\le n-1$, 이것이 Menger-Urysohn 정리 입니다. 하지만 우리의 경우$B$ 포함 $H$, 그래서 $\dim(B)=n-1$.)
규칙 성을 보려면 $C_i, i=1, 2$ 경계는 $C_i$ 같음 $A\cup H$ 그리고, 건설에 의해, 각 지점 $A\cup H$ 둘 다의 경계 지점입니다 $V_1$ 과 $V_2$. 그러므로,$int C_i= V_i$, 동안 $C_i=cl(V_i)$, $i=1, 2$.