양의 정수의 경우 $n\geq 2$ 제수 포함 $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, 증명 $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Aug 18 2020

IMO 2002 P4 Let $n\geq 2$ 제수가있는 양의 정수 $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. 증명$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ 항상보다 작다 $n^2$, 그리고 그것이 제수인지 결정 $n^2$

이 질문을 시도하고 있지만 아이디어가 부족합니다. 누군가가 약간의 힌트 나 제안을 줄 수 있습니까? 나에게 해결책을주지 않고 제발.

나는 그 제품이 $d_i$*$d_{i+1}$ 의 제수 $n^2$ (그리고 그것들은 모두 다릅니다)이 특정 합계가보다 작은 지 확인하기 위해 제수 합계에 대한 공식을 사용해보십시오. $n^2$

답변

4 ErickWong Aug 18 2020 at 18:04

힌트 1 : 캔 크기 $d_{k-1}$ 의 기능으로있다 $n$? 는 어때$d_{k-2}$?

힌트 2 : Let $p$ 가장 작은 소인수 $n$. 당신은 무엇에 대해 말할 수 있습니까$d_{k-1}$ 측면에서 $n,p$? 가장 큰 (적절한) 제수는 얼마일까요$n^2$?

4 ShubhrajitBhattacharya Aug 18 2020 at 18:15

이후 $d$ 의 제수 $n$ 경우에만 $n/d$ 우리는 $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {이후 $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\권리]$}$$

두 번째 부분은 $n$ 복합적이고 $p$ 가장 작은 소인수 $n$. 그런 다음 우리는$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ 이제 $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ 의 제수 $n$ 그럼 우리는 $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. 그러나$p>\frac{n^2}{N}$ 모순입니다 $p$ 가장 작은 소수입니다. $n^2$. 그래서$N\mid n^2$ 경우에만 $n$ 프라임입니다.