양의 정수의 점근 밀도입니다. $n$ 만족스러운 $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ 0과 같습니까?

Question

(이 게시물은이 MSE 질문 의 파생물입니다 .)

허락하다 $\sigma(x)$ 약수의 합을 나타냅니다. $x$. (https://oeis.org/A000203)

질문

양의 정수의 점근 밀도입니다. $n$ 만족스러운 $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ 0과 같습니까?

나는 방정식의 예와 반례를 찾아 보았다 $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$Sage Cell Server 를 통해 다음 Pari-GP 스크립트에 대해이 출력을 제공했습니다 .

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

모든 양의 정수 $1$ ...에 $100$ (정수 제외 $99$) 만족하다 $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

첫 번째 (반대) 예 일반화 $99$ 사소합니다.

만약 ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, 다음 $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ 과 $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. 따라서 문제의 점근 밀도는$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

또한 $3 \parallel n$, 다음 확률로 $1$ 두 개의 별개의 소수가 있습니다 $y$ 과 $z$ 합동 $1$ 모듈로 $3$ 그런 $y \parallel n$ 과 $z \parallel n$. 이 경우 우리는$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ 과 $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. 따라서 문제의 점근 밀도는$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

진짜 열린 문제는 점근 밀도가 $0$.

Answer 1

밀도가 0이되는 것 같지만 상당히 느립니다. 만약$p \equiv 1 \bmod 6$ 두 가지 해결책이 있습니다. $0<r<s<p-1$ 의 $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

만약 $p\parallel n$ 그런 다음 확률로 $1,$ 두 개의 별개의 소수가 있습니다 $x $ 과 $ y,$ 각 합동 $r \bmod p,$ 와 $x \parallel n$ 과 $y \parallel n.$ (둘 중 하나 또는 둘 다 $s$ 게다가.)

그때 $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ 동안 $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ 따라서 이것이 발생하지 않는 점근 밀도는 $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

이러한 사건이 발생하지 않을 가능성이 점근 적이라고 주장 할 수 있다면 $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ 합동 소수 이상 $1 \bmod 6,$ 그 점근 밀도는 $0.$