Я не могу понять свои собственные решения $\log_5(3x-1)<1$ и $\log(6/x)>\log(x+5)$
Вот два примера логарифмических неравенств. Несмотря на то, что я мог решить, я просто не мог полностью понять свой собственный процесс.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
Но решение не $x\in(-\infty, 2)$
Теперь рассмотрим значения для $x$ где $\log_5(3x-1)$ определено: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
Решение - пересечение. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
Я снова решил
$\frac{6}{x}> x+5$ и $x+5>0$, так как $x>-5$ диапазон определенных значений логарифмов. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
Затем я просто накрыл стол и получил $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
Решение этой проблемы: $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
Цели этого вопроса:
- Лучше понимать, как решать проблемы неравенства, понимать это более интуитивно;
- Понять, как работает неравенство, а также понять его более интуитивно;
- Почему ответ - это пересечение «решения» с определенными значениями;
Простите, если вопрос слишком элементарный, но любые подсказки приветствуются.
Ответы
Кажется, у вас есть пара идей.
Это наше основное определение $\log_b x = y \implies x = b^y$
Если $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
Есть несколько основных характеристик функции.
Функция «монотонно возрастающая». Это$\log x > \log y \iff x > y$
Функция «инъективная»: $\log x = \log y \iff x = y$
И область $\log x = (0,\infty).$ Если $x<0$ функция не определена.
Вам не нужно знать эти словарные слова. Вам необходимо понимать последствия, связанные с функцией логарифмирования.
К текущим проблемам.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$из первых двух правил. И$3x-1 > 0$ из последнего правила
Я думаю, что было бы неплохо перечислить все эти ограничения заранее.
Мы могли бы написать это так: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
По второй проблеме:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
К счастью, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ так что мы можем отбросить последнее ограничение.
Ограничение $x>0$ оказывает нам услугу в том, что мы можем размножаться на $x$не беспокоясь о том, чтобы перевернуть знак неравенства. Если бы была возможность, что x был отрицательным, мы не смогли бы этого сделать.
$0 > x^2 + 5x - 6$ и $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ и $x>0$
Первое неравенство имеет решение $(-6,1)$ а второй $(0,\infty)$
$(0,1)$ будет интервал, в котором оба держатся.
Кажется, вы отлично справляетесь с этим неравенством. Может быть, было бы лучше, как предлагается в комментариях, сначала указать ограничения, а затем работать дальше.
Например, в первом вопросе вы сначала получите решение ($x<2$), затем примените ограничения оттуда. Я думаю, это то, что может сбить вас с толку с вашим процессом.
Когда тебе дают логарифм $\log_5(3x-1)$, вы должны сначала найти значения $x$ удовлетворение $3x-1>0$, чтобы случайно не привести к появлению отрицательного числа в вашем логарифме. Как только вы получите$x>\frac{1}{3}$, то можно приступить к поиску решения неравенства. Как только вы получите$x<2$, вам будет легко применить ограничение, не задумываясь об этом.
То же самое и со вторым, но вы не учли логарифм слева при определении ограничений (т.е. вы получили$x>-5$ но ты не получил $x>0$, что приближает вас к ответу). Я думаю, это сэкономило бы вам время.
Надеюсь, это вам поможет.