Больцано-Вейерштрасс и нули комплексной аналитической функции
Я работаю над упражнением из учебника. Аналогичный вопрос: аналитическая функция в компактной области имеет конечное количество нулей , но мне это не совсем понятно, и, возможно, у меня есть другой подход? Я хочу доказать в основном тот же вопрос, что если$f$ аналитична внутри и на простом замкнутом контуре $C$ (кроме, возможно, опор внутри $C$), и если все нули $f$ внутри $C$ и конечного порядка, то нулей должно быть конечное число.
Надеюсь, мою попытку ниже можно проверить или исправить.
Моя попытка:
Предположим иначе. Затем по Больцано-Вейерштрассу множество$S$ всех нулей $f$ (который бесконечен) содержит точку накопления внутри $C$. Скажем так$z_0$. Эта$z_0$ также является нулем $f$ поскольку это предел подпоследовательности нулей в $S$ и $f$является аналитическим (а значит, и непрерывным). По предположению, это нуль конечного порядка, скажем$m$.
Я утверждаю, что в любом районе $N$ из $z_0$, $f$не может быть тождественно нулем. Чтобы в этом убедиться, напишите$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ где $g$ отлична от нуля и аналитична в $z_0$. Следовательно, в силу этих свойств$g$, есть район вокруг $z_0$ (пересекается с $N$) где $g$отличен от нуля. Однако в этой окрестности есть еще один (другой) ноль, скажем$z'$, из $f$по определению точки накопления. Следовательно,$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$, подразумевая, что $g$ может быть нулем в этой окрестности; противоречие.
Теперь по теореме из учебника, поскольку $f$ аналитична и равна нулю в $z_0$, но не тождественно нулю ни в какой окрестности $z_0$, должна быть удаленная окрестность $z_0$ где $f$тождественно отлична от нуля . Но опять же, в этой удаленной окрестности содержится ноль из$f$, сказать $z''$, по определению точки накопления, что противоречит $f$будучи там тождественно отличным от нуля. QED.
Итак, мои вопросы будут такими:
Верно ли вышесказанное? Если нет, то какую часть следует улучшить?
Есть ли другие подходы?
Обычно Q2 более интересен, но я очень ценю, если ответят и на Q1. Большое спасибо!
РЕДАКТИРОВАТЬ: Теперь, когда я думаю об этом после некоторых комментариев:
Мой первый абзац должен быть в порядке.
- Что касается моего второго абзаца до конца, я должен сделать это так:
Так как $z_0$ в порядке $m$, мы можем написать $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ где $g$ аналитична и отлична от нуля в $z_0$. По преемственности$g$ и отличное от нуля в $z_0$, есть район в $z_0$ где $g$тождественно отлична от нуля. Удаление$z_0$ Там, $f$тогда отлична от нуля в этой удаленной окрестности. Однако это противоречит тому, что$z_0$- точка накопления нулей. Выполнено?
ИЛИ
- Другой способ, тоже могу сказать: Либо $f$ не равно нулю тождественно ни в какой окрестности $N$ из $z_0$ , или $f$ тождественно нулю в некоторой окрестности $N$ из $z_0$. Что касается первого, в заключение следует мой первоначальный третий абзац. Для последнего по теореме тождества$f$ должен быть тождественно нулем внутри $C$. По аналитичности их производные любого порядка равны нулю, показывая бесконечный порядок. Выполнено?
Ответы
Предлагаю следующее: докажем, что если функция $f$ аналитична в регионе $R$ состоящий из всех точек внутри и на простом замкнутом контуре $C$, кроме, возможно, опор внутри $C$, и если все нули $f$ в $R$ являются внутренними для $C$и имеют конечный порядок, то число этих нулей должно быть конечным. Я думаю, мы должны добавить условие, что$\;f\;$ не равняется тождественно нулю ни в каком нетривиальном открытом связном подмножестве $\;R\;$. Это из книги (я уже нашел статью об этом от 1981 года ...), которую я до сих пор не могу найти, и, похоже, это что-то очень близкое к тому, что вы действительно хотите. Отметим, что приведенные выше условия для функции$\;f\;$ на самом деле говорят, что функция мероморфна в области, заключенной $\;C\;$ .
Доказательство: предположим, что есть бесконечные нули$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ из $\;f\;$ внутри $\;C\;$. Тогда по Больцано-Вейерштрассу существует$\;z_0\;$ на $\;R\;$ ул $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. По преемственности$\;f\;$ мы получаем это $\;f(z_0)=0\;$ , тоже.
Поскольку мы предполагаем все нули $\;f\;$ на $\;R\;$имеют конечный порядок и изолированы , существует$\;m\in\Bbb N\;$ ул $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ , в каком-то открытом районе $\;U\;$ из $\;z_0\;$ а для некоторой мероморфной функции $\;g\;$ ул $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Поскольку возможные полюса$\;f\;$ внутри $\;C\;$ изолированы, мы можем взять район $\;V\;$ из $\;z_0\;$ где нет полюсов $\;f\;$ внутри $\;V\;$ , и возьмем указанное выше соотношение $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ в $\;U':=U\cap V\;$, и на этот раз $\;g\;$отлична от нуля и аналитична в$\;U'\;$ .
Таким образом, мы почти закончили, поскольку тогда по теореме тождества аналитических функций мы получили бы, что $\;f\;$ будет тождественно нулем в некоторой связной окрестности точки $\;z_0\;$ , поскольку эта точка является точкой накопления множества, где $\;f\;$ и нулевая функция совпадают, что противоречит дополнительному условию, добавленному выше.