Более емкое определение подполя

Question

Я читаю учебник по алгебре Сондерса Маклейна и Гарретта Биркгофа, в котором подполе определяется как

Подмножество поля $F$ является подполем тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно операций мультипликативной единицы, вычитания, умножения и мультипликативного обратного (ненулевых элементов).

Мои вопросы:

1. Из этого определения подкольца, т.е.

Подкольцо кольца $(\mathrm{R},+, *, 0,1)$ это подмножество $\mathrm{S}$ из $\mathrm{R}$ который сохраняет структуру кольца, т. е. кольцо $(\mathrm{S},+, *, 0,1)$ с участием $\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. Эквивалентно, это как подгруппа$(\mathrm{R},+, 0)$ и субмоноид $(\mathrm{R}, *, 1)$.

Насколько я понимаю, "в равной степени это и подгруппа $(\mathrm{R},+, 0)$ и субмоноид $(\mathrm{R}, *, 1)$" в виде

Подмножество $S$ это подкольцо $R$ если и только если $S$ является аддитивной подгруппой в $(R,+,0)$ а также $S \setminus \{0\}$ является мультипликативным подмоноидом $(R \setminus \{0\},*,1)$.

1. Вдохновленный приведенным выше определением. Я придумал более емкое определение подполя, т.е.

Подмножество $E$ поля $(F,+, *, 0,1)$ является подполем тогда и только тогда, когда $E$ является аддитивной подгруппой в $(F,+,0)$ а также $E \setminus \{0\}$ является мультипликативной подгруппой в $(F \setminus \{0\},*,1)$.

Не могли бы вы проверить, правильно ли я понимаю? Спасибо большое за вашу помощь!

Answer 1

Небольшая поправка: ваша вторая формулировка (версия определения подполя) верна, но первая, касающаяся подстрок, в целом неверна: $(R\setminus\{0\},*,1)$ само по себе не обязательно должно быть моноидом (т. е. замкнутым относительно умножения), так как кольцо $R$ может иметь делители нуля или $R\setminus\{0\}$ может быть пустым.

Говоря $(R\setminus\{0\},*,1)$ является моноидом (т. е. подмоноидом $(R,*,1)$) уже подразумевает $1\neq 0$ а также $R$не имеет делителей нуля. В этом случае (только)$(S,*,1)$ является подмоноидом $(R,*,1)$ если только $(S\setminus\{0\},*,1)$ является подмоноидом $(R\setminus\{0\},*,1)$.

Answer 2

Да, оба верны. Вы, наверное, заметили закономерность во всех этих определениях: суб-флоп из флопа.$X$ это подмножество $Y$ из $X$ это все еще провал с операциями, которые он наследует от $X$.