$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ и бесконечность
Один вопрос:
- Если определение $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ и оно непусто, значит ли это, что его элементы принадлежат бесконечному пересечению $A_n$ или любое конечное пересечение $A_n$ для всех натуральных чисел?
Чтобы продолжить, я хотел бы показать, как я отношусь к этой запутанной нотации. $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Понимание анализа Стивен Эбботт
Пример 1.2.2, в котором определяется $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. По индукции оно непусто для любых конечных пересечений. Но доказательство от противного может показать, что, когда дело доходит до бесконечного случая, в котором используются обозначения$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, это нулевой набор. Другими словами, в этом примере это обозначение используется для бесконечного пересечения.
Теорема 1.4.1, в которой доказывается свойство вложенного интервала. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Здесь не указывается, бесконечное ли это пересечение или нет. Вместо этого он сказал:$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Следовательно,$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Другими словами, в этом примере это обозначение используется для каждого конечного натурального числа.
Теорема 1.5.8 говорит, что если$A_n$ является счетным множеством для каждого $n\in N$, тогда $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$счетно. Другими словами, в этом примере это обозначение используется для бесконечного пересечения.
Меня смущает это обозначение в том смысле, что оно включает в себя знак бесконечности, но его определение означает каждое натуральное число. Следовательно, всякий раз, когда я это вижу, я просто не знаю, какой из них применить.
Скажите, если я пойду в том направлении, в котором это применимо $\forall n\in N$, тогда индукция должна работать, потому что индукция делает то же самое! Хотя в этом посте говорится об обратном, говоря о бесконечности .
Хорошо, я меняю направление, в котором речь идет о бесконечном пересечении. Но тогда в некоторых случаях, например, в том, который я перечислил выше, каким-то образом, если что-то применимо ко всем натуральным числам, нормально быть частью этой нотации.
Короче говоря, я чувствую, что это обозначение имеет два противоречивых значения.
- $\forall n\in N$
- Бесконечность
Раньше я проводил исследования и задавал вопросы, но до сих пор не понимаю. Так что, наверное, я что-то неправильно понял и запутал в некоторых определениях.
Ответы
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$это набор. Какой набор? Набор всех вещей, которые принадлежат каждому из наборов$A_n$ для $n\in\Bbb Z^+$. Позволять$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; тогда$\bigcap\mathscr{A}$ означает то же самое. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ это просто обычное обозначение, которое означает ни больше, ни меньше, чем $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, и $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Здесь нет$A_\infty$: the $\infty$ это просто сигнал того, что индекс $n$ принимать все положительные целочисленные значения.
Предположим, что для каждого положительного действительного числа $x$ Я позволяю $I_x$ быть открытым интервалом $(-x,x)$. потом$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$- это набор всех действительных чисел, принадлежащих каждому из этих открытых интервалов. Если$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, тогда
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Откуда мне знать? Если$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, тогда $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, поэтому есть хотя бы один член $\mathscr{I}$ что не содержит $y$, а потому по определению $y$ не находится на пересечении множеств в семье $\mathscr{I}$. С другой стороны,$0\in(-x,x)=I_x$ для каждого $x\in\Bbb R^+$, так $0$ находится на перекрестке$\bigcap\mathscr{I}$.
Ни в том, ни в другом случае мы нигде не использовали индукцию. В случае наборов$A_n$ мы могли бы использовать индукцию по $n$ чтобы показать, что каждый из наборов $A_n$ имеет некоторую собственность $P$, но мы не смогли продолжить эту индукцию, чтобы показать, что $\bigcap\mathscr{A}$ имеет $P$. Мы могли бы каким-то образом использовать тот факт, что каждый$A_n$ имеет собственность $P$ показать это $\bigcap\mathscr{A}$ также имеет $P$, но это потребует отдельного аргумента; это не было бы частью индукции. Аргумент индукции в этом случае докажет, что
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
отдельный аргумент затем показал бы, используя этот результат и другие факты, что единственный набор $\bigcap\mathscr{A}$ имеет собственность $P$. Вы могли бы назвать этот набор$A_\infty$если бы вы хотели это сделать, но это был бы просто ярлык; Вы могли бы с таким же успехом назвать это$A$, или $X$, или даже $A_{-1}$, хотя навскидку я не могу представить, почему вы хотите использовать этот последний ярлык.
В случае наборов $I_x$ нет возможности использовать индукцию, чтобы показать, что каждый $I_x$ имеет некоторое свойство: эти наборы не могут быть указаны как $I_1,I_2,I_3$и так далее, потому что их несчетное количество. Мы все еще можем доказать что-то о наборе$\bigcap\mathscr{I}$, Однако. И мы могли бы дать ему любой удобный ярлык.$\bigcap\mathscr{I}$информативно, но, возможно, немного неудобно; Я мог бы дать ему более удобный ярлык$I$.
На случай, если $\mathscr{A}$ есть обычная запись, в которой используется символ $\infty$, но это просто следствие того, что множества $A_n$индексируются целыми числами. Мы делаем то же самое в примере с$\mathscr{I}$, но в этом случае нет возможности использовать предел $\infty$ на пересечении, потому что нет возможности проиндексировать несчетное количество наборов $I_x$ целыми числами.