Число неразветвленных квадратичных расширений числового поля

Question

Есть ли общая формула для числа неразветвленных квадратичных расширений числового поля $K$?

когда $K$ квадратично, это известно (по теории родов) как $2^{\omega(\Delta_K)-1}$, где $\omega(n)$ обозначает количество различных простых делителей $n$ и $\Delta_K$ дискриминант $K$. Меня интересуют результаты, когда$K$ имеет высшую степень.

Кажется, что эта проблема может быть намного сложнее и, возможно, связана с пониманием двойного кручения группы классов $\text{Cl}_K$(что кажется трудным, когда$K$не квадратичный), но я новичок в этой области и могу быть совершенно не в основе. Есть ли надежда на более прямой подход?

Answer 1

Кажется, нет.

1. Число неразветвленных квадратичных расширений $K$ равно числу подгрупп индекса два в группе классов идеалов $\text{Cl}_K$ по теории поля классов.
2. Подгруппы индекса два в $\text{Cl}_K$ соответствуют ненулевым элементам $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ по двойственности Понтрягина, на что мне указали @RP_ и @abx в комментариях.
4. Проблема вычисления (или даже ограничения) размера $\#\text{Cl}_K[2]$ когда $K$не квадратичное расширение, по-видимому, активно изучается и в целом представляет собой сложную проблему.