Делает ли функцию, выраженную в виде ряда Тейлора, дифференцируемой и / или непрерывной в области сходимости
Предположим, что f (x) - бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки $0$, и что радиус сходимости его ряда Тейлора вокруг $0$, $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, это 8.
Значит ли это $f(x)$ непрерывна и / или дифференцируема в $(-8,8)?$ и почему?
Ответы
Нет. Например, я могу взять любой степенной ряд$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ с радиусом схождения $8$, а затем определим
$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$
Разложение Тейлора этой функции вокруг $0$ это просто данный степенной ряд, но он согласуется с степенным рядом только в интервале $(-1,1)$, даже несмотря на то, что степенной ряд имеет больший радиус сходимости. Но если$f$ фактически соглашается с его серией Тейлора о $(-8,8)$то есть аналитична, то да, будет дифференцируема (пусть даже бесконечно часто) на всем интервале. Но аналитичность - очень сильное условие, поэтому вы не всегда можете предполагать это.
Связь между данными $f$функция и ее ряды Тейлора могут быть сложными. Это известный пример$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ который бесконечно дифференцируем с $f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. Сериал Тейлора$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$ сходится на всех $\mathbb{R}$, т.е. его радиус сходимости равен $R=\infty$но совпадает с функцией только в начале координат. Теперь мы можем взять некоторую функцию$g$ который равен $f$ только в некоторой окрестности начала координат, но может быть любого типа снаружи, например, не непрерывным.
Поэтому полезно иметь необходимое и достаточное условие для данного$\boldsymbol{f}$ функция представима своим рядом Тейлора на интервале сходимости$(-R,R)$, где $R$- радиус сходимости. Один из них следующий:
Остаток Тейлора в форме Маклорена $R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$ на данном интервале имеет тенденцию к $0$, где $p>0$, $\xi$ между $x$ и $a$.