Дирак $\delta$-функция обязательно симметричная?
Дирак $\delta$-функция определяется как распределение, которое удовлетворяет этим ограничениям:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
Некоторые авторы также ставят еще одно ограничение, что Дирак $\delta$-функция симметрична, т. е. $\delta(x)=\delta(-x)$
Теперь мой вопрос: нужно ли отдельно накладывать ограничение, которое Дирак $\delta$-функция симметрична или автоматически возникает из других ограничений?
Что ж, чтобы наглядно проиллюстрировать мой запрос, я собираюсь определить такую функцию: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ где ${\rm rect}(x)$ определяется как: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ конечно, не симметричен, но удовлетворяет следующим условиям: $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
Теперь мой вопрос: можем ли мы определить $ξ(t)$ как дельта-функция Дирака или нет?
Ответы
«Дельта-функция» - это не функция, а распределение. Распределение - это рецепт для присвоения номера тестовой функции. Это распределение может, но не обязательно, иметь значения функций в обычном смысле. В случае дельта-распределения оно не имеет значений функции.
Так заявление вроде
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ что означает "ценность $\delta$ в $x$ равно стоимости $\delta$ в $-x$"бессмысленно / недействительно.
Но заявление $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ может быть действительным.
Вы легко можете убедиться, что функция $\Delta$ и $x$ (выражение после знака предела в определении $\xi$) не удовлетворяет ни одному из этих двух утверждений (в роли $\delta$). Так что это не «симметрично».
Дельта-распределение гипотетически может удовлетворять только второму утверждению. Это так?
Мы можем оценить обе стороны равенства. Левая часть имеет значение по определению$\delta(x)$, $f(0)$.
Мы можем преобразовать правый интеграл к виду $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ По определению $\delta(y)$, значение этого интеграла равно $f(0)$, то же, что и в левой части. Итак (**) доволен.
Уравнение $\delta(x) = \delta(-x)$ таким образом, является следствием определения $\delta(x)$, это не независимое предположение.
Ваша функция $\xi$ может фактически подчиняться и второму утверждению (и, следовательно, быть симметричным в этом смысле), даже если $\Delta$-зависимого выражения после знака предела нет. Это похоже на другие приближения дельта-распределения; приближение может не обладать свойствами$\delta$ (например, симметрия), но предел делает.
Символ $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ с двумя аргументами $x,y\in\mathbb{R}$неформальное обозначение ядра для дельта- распределения Дирака $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ определяется как
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
для тестовых функций $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Отсюда следует, что дельта Дирака, определенная как выше, является симметричной. $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$ср. Заглавный вопрос ОП.
Дельта-функция - это распределение, определенное набором функций. Математики обычно выражают это, используя обозначение бюстгальтера, где дельта-функция - это бюстгальтер.$<\delta|$ и $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
Если бы вы говорили о наборе непрерывных функций, я считаю, что вам не понадобится требование симметрии. Но обычно это не так. В квантовой механике мы используем набор функций, интегрируемых с квадратом; это мягкое требование, допускающее разрывы.
Теперь, если вы рассматриваете функции, которые могут быть разрывными в нуле, тогда вам нужно явно определить, что делать, симметричное дельта-распределение должно быть
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
и у вас могут быть другие разные «дельта-функции», которые работают одинаково в непрерывных функциях, но по-разному работают в случае разрыва.
БОНУС: в одномерной квантовой механике у вас есть целый набор «дельта-подобных потенциальных барьеров», определяемых множеством способов соединения $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ к $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. Номенклатура здесь - кошмар из-за ошибок в учебниках. Каждую «дельту» или «барьер, поддерживаемый в одной точке» можно рассматривать как правило для объединения интервалов.$(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.