Для каких значений $\alpha$ является { $z_n$} ограниченная последовательность?

Question

куда $\alpha$ - действительная константа, рассмотрим последовательность {$z_n$} определяется $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. На какое значение$\alpha$ является {$z_n$} ограниченная последовательность?

Как мне начать с такого рода вопросов? я думаю что$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ последовательность сходится и, следовательно, ограничена, но как мне ее записать?

Answer 1

Если $\alpha=0$, $(z_n)$ постоянно, следовательно, ограничено.

Если $\alpha>0$, $(z_n)$ сходится к 0 и, таким образом, ограничен.

Если $\alpha<0$, $(z_n)$ расходится на $+\infty$ и поэтому неограничен.

Answer 2

Как я утверждаю в комментарии, у вас есть правильный ответ. Единственная оставшаяся задача - дать формальное объяснение ответа. Один из способов написать ответ:

Прежде всего отметим, что функция $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ определяется $f(x) = x^{\beta}$ удовлетворяет $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ Подозреваю, что формально доказывать это утверждение не нужно: вполне вероятно, что в учебнике есть утверждение, на которое можно сослаться.

Когда это установлено, устраните проблему в $3$ случаи: в случае, если $\alpha < 0$, заключаем, используя указанный выше факт, что $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, что означает, что последовательность не ограничена. В случае, если$\alpha = 0$, заключаем, что $z_n \to 0$, что означает, что последовательность сходится и, следовательно, ограничена. Аналогично, если$\alpha > 0$, заключаем, что $z_n \to 0$, что означает, что последовательность сходится и, следовательно, ограничена.

Таким образом, мы заключаем, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда $\alpha \geq 0$.