Доказательство монотонности неявной функции

Aug 18 2020

Я изучал свойство бета-функции и обнаружил следующее равенство:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$

где $\text{B}$ обозначает бета-функцию.

Я могу показать это каждому $\alpha>0$существует единственный $k \in (0,\infty)$st выполняется указанное выше равенство. Что меня интересует, так это то, что когда я строю график$k$ с точки зрения $\alpha$ в Wolfram оказывается, что $k$ фактически является строго убывающей функцией относительно $\alpha$.

Я не смог доказать это утверждение, но у меня есть интуиция. Интегрирование по частям приводит к тому, что указанное выше равенство эквивалентно:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$

Так когда $\alpha$ большой, срок $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ становится доминирующим в $\lambda=1/2$. Следовательно,$2k/4$ должен оставаться рядом с $1$также. Когда$\alpha$ маленький, $k$ должен быть значительно больше, чем $2$ чтобы компенсировать ту часть, где $\lambda$ держись подальше от $1/2$.

Любые подсказки / предложения в основном приветствуются.

Ответы

1 Avocaddo Sep 03 2020 at 08:04

Позволять $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. По теореме о неявной функции, примененной к$R\left(a,k\right)=0$ у нас есть

$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$

потому что $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ и $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Дайте мне знать, если это ясно.