Доказательство предложения 11.20 Атьи-Макдональда
Я борюсь с проверкой неравенства полюсного порядка, заявленного в доказательстве предложения 11.20. (Полное утверждение и доказательство предложения можно найти здесь: Atiyah-Macdonald 11.20 и 11.21 )
У меня вопрос: как доказать это неравенство?
Я нашел несколько онлайн-ресурсов, посвященных различным вопросам, связанным с книгой, но ничего не нашел по этой конкретной проблеме. Я думаю, было бы полезно, если бы была сделана некоторая ссылка на это, так как проницательный ответ может быть полезен любому, кто пытается изучить предмет из этой книги.
Если это интересно, я основывал свои собственные усилия на следующих дополнительных предположениях:
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ должен относиться к порядку полюсов как к другому $d$ (степень характеристического полинома) определена только для локальных колец.
- Градиентная структура этого кольца $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, куда $\bigoplus A_n$ стандартная оценка $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Я полагаю, что проблема недостаточно ясна, если только одна из них не углублена в книгу, поэтому я предоставлю краткое изложение соответствующих результатов, найденных в главе 11 до (11.20): для градуированного кольца Нётериана$A$ создан как $A_0$-алгебра $s$ однородных элементов степени 1, теорема (11.1) утверждает, что ряд Пуанкаре $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ любой конечно порожденной градуированной $A$-модуль $M$ имеет полюс порядка $d(M)\leq s$ в $t=1$. Это дает верхнюю оценку для$d(A)$ когда берете $M=A$. Однако неравенство в (11.20) вводит оценку снизу для$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Нижняя граница порядка полюсов встречается ранее в тексте только в форме равенства, а именно в очень специализированном случае, когда градуированное кольцо является связанным градуированным кольцом.$G_\mathfrak{q}(A)$ местного нётерского кольца $A$по ан$\mathfrak{m}$-первоначальный идеал $\mathfrak{q}$ [полюсный порядок $G_\mathfrak{q}(A)$ в этом случае равно dim $A$]. Следовательно, трудность заключается в отсутствии результатов для определения нижних оценок полюсного порядка.
Ответы
Позволять $\bigoplus A_n$ быть стандартной оценкой $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. Гомоморфизм градуированных колец$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ сюръективен и имеет ядро $(\bar{f})$, следовательно $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ это оценка $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ индуцирует карту $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ поскольку $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, а значит, мы получаем следующие сюръективные гомоморфизмы градуированных колец: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Обратите внимание, что $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ и $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ находятся $A/\mathfrak{q}$-модули для всех $n$ (при условии $s > 0$) и, следовательно, должен иметь конечную длину, поскольку $A/\mathfrak{q}$это Артин. С$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ является гомоморфным образом $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, у нас также есть это $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Наконец, заметьте, что, поскольку$\bigoplus A_n$ генерируется как $A/\mathfrak{q}$-алгебра $t_1,\dots,t_d$, два других кольца генерируются соответствующими изображениями этих колец. Поскольку все эти изображения однородны степени 1, из (11.2) получаем, что для всех больших$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ это многочлен $g(n)$ степени $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ и $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ это многочлен $h(n)$ степени $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Теперь, так как$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ для всех больших $n$, мы должны иметь это $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, таким образом $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ что доказывает неравенство.