Доказательство того, что определенное подмножество является подкомплексом CW
У меня возникли проблемы с детализацией доказательства из Алгебраической топологии Хэтчера (предложение A.1 на стр. 520 для заинтересованных, хотя я не думаю, что это актуально): у нас есть комплекс CW$X$ и $n$-ячейка $e_\alpha^n \subset X$, а изображение прикрепляющей карты этой ячейки содержится в конечном подкомплексе $A \subset X$. Хэтчер утверждает, что$A \cup e_\alpha^n$является конечным подкомплексом, но мне трудно понять, почему. Я пытаюсь показать, что граница$e_\alpha^n$ содержится в $A$но я никуда не денусь. Верно ли вообще, что закрытие$n$-cell - это ее объединение с изображением прикрепленной к ней карты?
РЕДАКТИРОВАТЬ: Я хотел бы доказать это, не ссылаясь на тот факт, что комплексы CW являются хаусдорфовыми, поскольку книга еще не доказала этого.
Ответы
Чрезвычайно легко показать, что CW-комплекс является хаусдорфовым, включите его в свое доказательство, если вы беспокоитесь по этому поводу.
При этом закрытие открытой ячейки $e \rightarrow X$ это изображение $e \cup S^n \rightarrow X$задается включением открытой ячейки и характеристического отображения на границе. Это потому что$e \cup S^n = D^{n+1}$компактен, и образ компакта компактен, что в хаусдорфовом пространстве влечет замкнутость. Это наименьшее замкнутое множество, содержащее изображение$e$ так как любая точка изображения характеристической карты находится на границе изображения $e$.