Докажи это для всех $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$
$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$
Если честно, я не могу начать,
Я хотел бы попросить всех дать мне представление о том, как ее решить, дать мне толчок, спасибо.
Ответы
переписываем сумму так;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$
это просто коэффициент $x^{n-1}$ в расширении $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$
Признайте это как GP: следовательно, мы ищем коэффициент $x^{n-1}$ в $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$
или $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ Коэффициент равен $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$
Между прочим, суммируемый продукт выглядит как PMF отрицательного биномиального распределения , чтобы многократно подбрасывать справедливую монету, пока не получится$n$ головы, есть $\frac 12$ вероятность того, что было не более $n-1$ хвосты перед $n$-я голова.
Позволять $\Pr(A)$ быть вероятностью того, что было не более $n-1$ хвосты перед $n$-я голова.
затем $1-\Pr(A)$ будет вероятность того, что $n$ый хвост появляется, пока было не более $n-1$ головы.
У честной монеты голова и хвост симметричны, и поэтому
$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$