Докажи это для всех $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$

Nov 29 2020

$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$

Если честно, я не могу начать,

Я хотел бы попросить всех дать мне представление о том, как ее решить, дать мне толчок, спасибо.

Ответы

AlbusDumbledore Nov 30 2020 at 03:10

переписываем сумму так;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$

это просто коэффициент $x^{n-1}$ в расширении $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$

Признайте это как GP: следовательно, мы ищем коэффициент $x^{n-1}$ в $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$

или $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ Коэффициент равен $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$

3 peterwhy Nov 30 2020 at 00:57

Между прочим, суммируемый продукт выглядит как PMF отрицательного биномиального распределения , чтобы многократно подбрасывать справедливую монету, пока не получится$n$ головы, есть $\frac 12$ вероятность того, что было не более $n-1$ хвосты перед $n$-я голова.

Позволять $\Pr(A)$ быть вероятностью того, что было не более $n-1$ хвосты перед $n$-я голова.

затем $1-\Pr(A)$ будет вероятность того, что $n$ый хвост появляется, пока было не более $n-1$ головы.

У честной монеты голова и хвост симметричны, и поэтому

$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$