Дополнительная энергия в системах с двойной массой и пружиной
Ниже представлена система пружин с двумя массами, размещенная на гладкой поверхности (без трения), допустим, что жесткость пружины равна $k$ в таком случае.
Теперь, если мы создадим небольшое расширение весной значения $x_o$, две массы будут совершать простое гармоническое движение (SHM) индивидуально с амплитудами $A_1$ и $A_2$ соответственно такие, что $A_1$ + $A_2$ знак равно $x_o$. Теперь полная энергия указанной системы определяется выражением$\frac{1}{2}kx_o^2$ и энергии их индивидуальных колебаний были бы $\frac{1}{2}kA_1^2$ и $\frac{1}{2}kA_2^2$. Но$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Итак, для чего используется эта дополнительная энергия? Ясно, что он не используется для SHM, так как он не попадает под действие энергии индивидуальных колебаний масс. Поэтому я не могу сказать, для чего он используется!
У меня есть еще один вопрос. Их индивидуальные максимальные кинетические энергии связаны следующим образом:$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, где $v_1$ и $v_2$- максимальные скорости отдельных масс. Но максимальная кинетическая энергия тела, выполняющего СТМ, должна быть равна его максимальной потенциальной энергии! Так$\frac{1}{2}kA_1^2$ должно быть равно $\frac{1}{2}mv_1^2$ и аналогично $\frac{1}{2}kA_2^2$ должно быть равно $\frac{1}{2}Mv_2^2$. Но это противоречило бы нашему уравнению, что$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! Так что я не совсем понимаю, что здесь происходит!
Кто-нибудь может мне это объяснить?
Ответы
Вы должны анализировать обе массы вместе как единую систему SHM - вы не можете разделить ее на два независимых компонента SHM.
Предположим, мы начинаем с пружины естественной длины и перемещаем массу $m$ влево на расстоянии $x_1$ и масса $M$ вправо на расстоянии $x_2$. Сила, которую пружина оказывает на обе массы, теперь равна$k(x_1+x_2)$. Итак, если мы переместим массу$m$ от $x_1=0$ к $x_1=A_1$ и мы перемещаем массу $M$ от $x_2=0$ к $x_2=A_2$ тогда общая энергия, запасенная в пружине, равна
$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$
где $y=x_1+x_2$, и
$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$
так что нет никакой «лишней энергии».
Когда мы отпускаем массы, уравнение движения массы $m$ является
$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
а для массы $M$ это
$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
Сложив их вместе, мы получим
$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$
где $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, и $y(0) = x_0$, $\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Так
$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
так же
$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
Когда пружина вернется к своей естественной длине, $y=0$ и $\cos \sqrt{k'}t = 0$ так $\sin \sqrt{k'}t = 1$. Таким образом, кинетическая энергия системы равна
$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$
Другими словами, вся потенциальная энергия, запасенная в пружине, была преобразована в кинетическую энергию, как и ожидалось.
Позволять $x$ быть величиной максимального отклонения от положения равновесия массы $m$ и $X$ быть величиной максимального отклонения от положения равновесия массы $M$.
Сохранение импульса для системы требует $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.
Для этой системы собственная частота колебаний определяется выражением $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.
Максимальная кинетическая энергия системы составляет $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.
Вкладывая в стоимость $\omega^2$ и умножение дает кинетическую энергию как
$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.
Можно провести более общий анализ, чтобы показать, что полная энергия системы постоянна.