Эквивалентность двух определений категории, имеющей экспоненциальные объекты
Категория с продуктами называется экспоненциальной, если для всех объектов$x, y$ существует объект $y^x$ оснащен стрелой $e\colon x\times y^x\to y$ так что для всех объектов $z$ и все стрелки $f\colon x\times z\to y$ есть уникальная стрелка $\bar{f}\colon z\to y^x$ удовлетворение $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.
Я вижу, что если в категории есть экспоненты, то $f\mapsto \bar{f}$ является естественным изоморфизмом между $hom(x\times z, y)$ и $hom(z, y^x)$ с обратным $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Следовательно, функтор$x\times (-)$ слева примыкает к $(-)^x$.
Меня интересует обратное: если $C$ это категория с такими товарами, что $x\times (-)$ имеет правый сопряженный, следует ли из этого, что $C$ есть экспоненты?
В частности, если мы просто предположим, что $x\times (-)$ имеет примыкание справа, как оборудовать $y^x$ со стрелкой $e\colon x\times y^x\to y$. Кроме того, как мы можем сделать вывод, что уравнение$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ держит точно?
Каким-то образом существование правого сопряжения $x\times (-)$ кажется более слабым и абстрактным, чем определение универсального свойства категории с показателями, приведенным выше.
Ответы
Полагаю, нужен AC для выбора объекта. $y^x$ для каждого $x$ и $y$.
Принимая это, человек получает стрелу $e$из формализма единиц / графов в присоединениях. Если$F$ является правым соплеменником $x\times(-)$ тогда естественно, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Взять $a=Fy$. потом$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ Тождество слева переходит в гомоморфизм $e:x\times Fy\to y$справа. Мы обозначаем$Fy$ так как $y^x$, и это $e:x\times y^x\to y$ - экспоненциальное отображение.