Элементарные дифференциальные уравнения, Бойс, раздел 2.2, упражнение 19 (разделяемые уравнения)

Aug 17 2020

Упражнение заключается в решении задачи начального значения:

$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$

Мы получаем $\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, и из $y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$ мы заключаем, что $$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$ Потом: $$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.

Почему решение $y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$ а не просто $y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? Что я делаю не так?

Буду благодарен за любую помощь.

Ответы

1 Noname Aug 17 2020 at 09:09

$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$

Когда вы это делаете, вы предполагаете, что $\sin(3y)$ обратима в окрестности $\frac{ \pi}{2}$. Но в каждом открытом шаре, сосредоточенном в$\frac{ \pi}{2}$ существуют точки $a< \frac{ \pi}{2}< b$ такой, что $\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$ из-за площади в $cos(x)$. Поэтому вы должны быть осторожны при выборе домена вашего решения.

Решение $y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ действительно, когда $x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$ в то время как $y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ действительно, когда $x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.