Если аналитический $f$ удовлетворяет любому из этих двух условий, то оно постоянно

Question

Я пытаюсь ответить на вопросы о назначении института, в котором я не учусь. Я поражен этими 2.

1. Если $f$ дифференцируемая функция из области $X$ в $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}$ докажи это $f$ обязательно константа.

2. Если $f$ и $\bar {f}$ оба аналитичны в области $X$ показать, что они постоянны в регионе $X$.

Попытки:

1. Регион всегда открыт. Итак, ассортимент$f$ должен быть открытым (теорема об открытом отображении), но $\mathbb{R}$ не открыт в $\mathbb{C}$ даже если это синглтон как дополнение $\{x\}$не закрывается. Итак, я не понимаю, как я могу доказать это утверждение.

2. Для 2 мне нечего показать, так как я действительно не понимаю, какой результат использовать из-за $\bar{f}$ обсуждаемый.

Пожалуйста, помогите.

Answer 1

Ваше доказательство 1) верно. Для 2), если оба$f$ и $\bar{f}$ голоморфны (дифференцируемы), то таковы $\mathrm{Re}(f)$ и $\mathrm{Im}(f)$, но их диапазоны лежат в $\Bbb{R}$. Согласно тому, что вы доказали в п. 1), оба они должны быть постоянными, поэтому$f$ постоянно.