Если $\widehat{M}$ это бесплатный $\widehat{R}$-модуль ранга $n$ тогда $M$ имеет генераторную установку $n$ элементы как $R$-модуль.
Что касается моего последнего вопроса, если$\widehat{M}$ это бесплатный $\widehat{R}$-модуль, затем $M$ это бесплатный $R$-модуль, $R$кольцо Зарисского. Я хочу задать следующий вопрос.
Позволять $R$ быть кольцом Зарисского с $I$-адическая топология, $I \subset J(R)$. Позволять$M$ быть конечно порожденным $R$-модуль такой, что $I$-адическое завершение $\widehat{M}$ это бесплатный $\widehat{R}$-модуль ранга $n$. Тогда как я могу это показать$M$ имеет генераторную установку $n$ элементы как $R$-модуль.
Мне нужна помощь.
Ответы
Рассмотреть возможность $n$ генераторы $\widehat M$, $x_1,...,x_n$.
Позволять $y_1,...,y_n$ обозначают их образ в $M/IM$. Потом,$y_1,...,y_n$ генерировать $M/IM$.
Действительно, $\widehat M\to M/IM$ сюръективно ($M\to \widehat M\to M/IM$ сюръективно), так что если $z\in M/IM$, позволять $w$ быть любым предшествующим, $w= \sum_i \lambda_i x_i$ подразумевает, что $z =\sum_i \mu_i y_i$, с участием $\mu_i$ образ $\lambda_i$ под $\widehat R\to R/I$.
Но теперь, когда $I\subset J(R)$, Лемма Накаямы говорит вам, что любые предшественники $y_1,...,y_n$ генерировать $M$ (здесь используется предположение, что $M$ конечно порожден)