Есть ли биективная функция $f:[0,1] \to [0,1]$ такой, что график $f$ в $\mathbb{R}^2$ плотное подмножество $[0,1] \times [0,1]$?
Есть биективен функция $f:[0,1] \to [0,1]$таким образом, что график , из$f$ в $\mathbb{R}^2$является плотным подмножеством$[0,1] \times [0,1]$? (Точно так же, как заголовок).
Я думаю, что вопрос не сильно изменится, если мы зададим тот же вопрос, но для функции $f:(0,1) \to [0,1]$ или же $f:[0,1) \to (0,1]$ и т. д., в отличие от $f:[0,1] \to [0,1]$, который был в исходном вопросе. Все, что действительно имеет значение, - это то, что область и диапазон являются ограниченными связными подмножествами$\mathbb{R}^2$.
Я подозреваю, что ответ на вопрос - да, но я не знаю, как построить такую функцию.
Прежде всего следует отметить, что, если такая функция существует, она не должна быть нигде непрерывной, иначе график f не был бы плотным на всем протяжении $[0,1] \times [0,1]$. Однако неясно, будет ли график нашей функции полностью отключенным подмножеством$[0,1] \times [0,1]$.
Может ли нигде непрерывная функция иметь связный граф?
На самом деле я не читал ответы на вышеупомянутый вопрос в каких-либо подробностях, и в любом случае, возможно, ответ на этот вопрос здесь не имеет значения (хотя может).
Моя попытка:
Позволять $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $быть функцией Конвея с основанием-13 , но с доменом, ограниченным$(0,1)$. Теперь определим$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ с доменом $(0,1)$ и диапазон $(0,1)$. Тогда функция определена корректно, и график$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ плотное подмножество $[0,1] \times [0,1]$. Теперь мы можем легко изменить нашу функцию$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ так что у него есть домен $[0,1]$ и диапазон $[0,1]$, и я предполагаю, что читатель может это сделать, и оставлю детали для краткости. Но дело в том, что эти недостающие две точки в домене,$0$ и $1$, не проблема.
Проблема в том, что наша функция не является инъективной.
Обратите внимание, что мы не можем ответить на вопрос, удалив только точки из графика $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, потому что тогда вы удалили бы много точек из домена, и поэтому это не будет функция с доменом $(0,1)$. Так что, возможно, сделаю что-нибудь умное, чтобы$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, или, возможно, необходимо придумать совершенно другой способ создания функции для ответа на этот вопрос.
Ответы
Для простоты поработаю в $[0,1]\times [0,1].$ Слово «счетный» ниже будет означать «счетно бесконечное».
Лемма: существует попарно непересекающийся набор $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ подмножеств $(0,1)$ так что каждый $D_n$ счетно и плотно в $(0,1).$
Доказательство: Пусть $p_1,p_2,\dots$быть простыми числами. Для каждого$n,$ определить $D_n$ быть набором соотношений $j/p_n^k,$ где $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ и $j,p_n$относительно просты. Я остановлюсь здесь, но задам вопросы, если хотите.
Теперь определим дважды индексированный набор открытых интервалов $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ где $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ Мы можем линейно упорядочить эти интервалы как $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ В этом порядке обозначим интервалы просто как $J_1,J_2,\dots.$
Для каждого $n,$ набор $D_n\cap J_n$ является счетным плотным подмножеством $J_n.$ Обратите внимание, что коллекция $\{D_n\cap J_n)\}$ попарно не пересекается.
Теперь для $n=1,\dots,$ определить $f:[0,1]\to [0,1]$ определяя $f:J_n\cap D_n \to D_n$быть любым предубеждением, которое вам нравится. Чтобы получить полную биекцию, обратите внимание, что$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ является $[0,1]$минус счетное множество. Так это$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ Следовательно, эти множества имеют мощность $[0,1],$следовательно, между ними существует взаимное соответствие. Позволять$f$это взаимное соответствие между этими множествами. В настоящее время$f$ это полная биекция от $[0,1]$ к $[0,1].$
Чтобы показать плотность, пусть $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ Затем для большого $n$ (теперь исправлено), $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ И с тех пор $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ плотное подмножество $(0,1),$ Существует $x\in J_n\cap D_n$ такой, что $f(x)\in (c,d).$ Таким образом $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ Это показывает график $f$ плотно в $[0,1]\times [0,1].$
Да, вы можете построить инъективную функцию $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ чей граф плотен в $[0,1] \times [0,1]$ а затем расширить область определения $f$ к $\mathbb [0,1]$ таким образом, что делает $f$ биекция (это выполнимо, так как есть $|\mathbb R | $ указывает в $[0,1]$ уже не в образе $f$).
Например, на $\mathbb Q \cap [0,1]$ ты мог бы позволить $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
Пусть S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1)).
Пусть R (x, n) будет floor (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) (неформально поменяйте местами две половины двоичного разложения x).
Пусть f (b) = S (R (x, n), n), если существует некоторый x, n (который, довольно тривиально, должен быть уникальным) такой, что S (x, n) = b, и b в противном случае.
Рассмотрим любую «ячейку двоичной сетки», [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n]. (S (a * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n)) находится в этой ячейке сетки.