Есть ли хороший способ математически написать операцию CNOT над несоседними кубитами в схеме? [дубликат]
Мне было интересно, есть ли способ представить матрицу CNOT, поскольку мы обычно представляем операции с одним кубитом
$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$
Я знаю, что для соседних кубитов в схеме мы можем представить это идентично
$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$
Но есть ли способ представить операцию математически, если несколько CNOT действуют не на соседние провода?
Ответы
Если вы имеете в виду только абстрактное представление схемы, вы можете просто переупорядочить свою основу так, чтобы все кубиты, участвующие в CNOT, были сделаны «смежными» в соответствии с вашей разметкой. Например, если основа заказана как$1,2,3$, и вы хотите выполнить CNOT между кубитами 1 и 3, тогда вы просто пишете что-то вроде
$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$
где сейчас заказывается основа $1,3,2$. Но если вы не хотите переупорядочивать базис, есть еще один способ написать CNOT:
$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$
который может включать в себя идентификатор состояния второго кубита, например
$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$
Это уже не просто продукт унитарных операций, что ожидается, поскольку действие CNOT не должно разлагаться на продукт операций.
Лично я просто определяю себе некоторые обозначения. Например, вместо записанного вами НЕ я определяю$X_n$ быть $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ Точно так же я мог бы определить $CNOT^i_j$ быть контролируемым-неконтролируемым выключенным $i$ и нацеливание $j$. Если бы мне пришлось записать это как тензорные произведения, я бы, вероятно, сделал что-то вроде$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ предполагая $j>i$.