Генерирующая функция интуиции

Aug 16 2020

Я пытаюсь понять использование генерирующих функций. Я понял, что мы можем сжать последовательность в производящую функцию, так что каждый коэффициент многочлена, который она генерирует, является элементами последовательности. Но я не понимаю, что меняют входы?

Допустим, у нас есть производящая функция: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

Что происходит, когда мы даем разные значения $x$, что меняется интуитивно? Я думал$x^k$ термин был там для кодирования местоположения коэффициента в последовательности, поскольку мы не можем добавить $p_ax^a$ и $p_bx^b$ если $ a \neq b$, так что термины остаются неоднородными. Но я видел, что для вероятностного распределения свойство$G(1)=1$должен держать. Это единственный случай, когда полезно присвоить значение x?

Заранее большое спасибо за объяснения.

Ответы

2 AntoniParellada Aug 16 2020 at 21:14

Если $X$ дискретная случайная величина, принимающая значения в целых неотрицательных числах $\{0,1, \dots\}$, то производящая функция вероятности $X$ определяется как:

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

где $p$ - функция массы вероятности $X$. Выбор$z$ вместо $x$просто связано с идеей, что то, что мы делаем, является преобразованием z .

Обратите внимание на то, что $z$ действует как веревка для белья, чтобы повесить интересующие значения, которые восстанавливаются после дифференциации и оценки на $0$ для восстановления PMF, или в $1$для моментов соответственно. Это волшебство происходит благодаря тому, что$z$ либо становится $0$ во всем хвосте условий (PMF), или $1.$ Но в любом случае он не связан со случайной величиной и не дает никакой информации - это эквивалент фиктивной переменной.

ХАРАКТЕРИСТИКИ:

  1. ЭТО ДАЕТ ВАМ ВЕРОЯТНОСТЬ, дифференцируя:

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

  1. $G\,(1)=1$ потому как $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$

  2. Первый дифференциал

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

  1. Первый дифференциал оценивается в $1$ дает вам среднее значение: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$

  2. Вторая производная с оценкой $1$ - факторный момент, а НЕ дисперсия, потому что второй член не возведен в квадрат.

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

  1. Итак, обобщая $i$-я производная с оценкой $1$ это $i$-й факторный момент:

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

  1. Чтобы получить дисперсию,

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$

  1. Мы можем получить сырые моменты, дифференцируя pgf и умножая его на $z$:

$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$