Границы дисперсии суммы зависимых случайных величин

Question

Позволять $x_1, \ldots, x_n$быть возможно зависимыми случайными величинами, каждая из которых принимает значения$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Предположим далее, что в каждом исходе количество случайных величин, равных 2, равно 1. Теперь для каждого$i \in \{1, \ldots, n\}$ определить $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ и разреши $ f = \sum_i f_i. $

Мой вопрос в том, насколько велика дисперсия $f$быть? Я предполагаю, что мы сможем связать его$O(1)$ но не знаю, как это доказать.

---

Примечание. Если это поможет, легко доказать, что $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ где последнее равенство происходит из нашего первоначального предположения, что во всех исходах ровно один из $x_i$равно 2.

Answer 1

$Var\,f$ может быть порядка $n$ (но не более того).

Действительно, пусть $U$ и $N$ - независимые случайные величины такие, что $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ и $P(N=i)=1/n$ для всех $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$. Позволять$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ Затем с $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (в виде $n\to\infty$).

С другой стороны, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$

---

Подробности по (1): У нас есть $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ и $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ за $i\ne j$. Выбирая сейчас$p=1/n$, у нас есть
$$Ef^2\sim n/4.$$ поскольку $Ef=1$, (1) теперь следует.

---

Оглядываясь назад на (2), теперь идея конструкции должна стать прозрачной: мы хотим сделать $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ за $i\ne j$ намного больше, чем $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ и при этом не делать $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$слишком маленький. Выбор$p=1/n$ почти оптимален в этом отношении.