Характеризация конечномерных C * -алгебр?
$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Позволять $A$ быть конечномерным $*$-алгебра над $\mathbb C$.
(А именно, ассоциированная алгебра с инволюцией$*:A\to A$ удовлетворение $(ab)^*=b^*a^*$ а также $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)
Предположим, что для $\forall a\in A$ у нас есть $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
Следует ли из этого$A$ такое C * -алгебра?
Здесь спектр $\Spec(x)$ элемента $x$ это набор скаляров $\lambda\in \mathbb C$ такой, что $x-\lambda$ не обратима.
Ответы
Позволять $V$быть сложным векторным пространством, снабженным инволютивной антилинейной звездной операцией (например, C * -алгеброй, умножение которой было забыто). Оборудовать$V$ с тождественно нулевым умножением, а именно $xy=0$ для всех $x$ а также $y$ в $V$. Тогда унитизация$V$это контрпример. Фактически, каждый элемент$a$ из $V$ нильпотентен, поэтому $\text{spec}(a) = \{0\}$. Следовательно, спектр любого элемента вида$a-\lambda$ является $\lambda$ откуда легко проверяется требуемое условие.
тем не мение $a^*a=0$ для каждого $a$ в $V$, так $\tilde V$ не может быть C * -алгеброй.