Интуитивное объяснение, почему «теневой оператор» $\frac D{e^D-1}$ связывает логарифмы с тригонометрическими функциями?
Рассмотрим оператора $\frac D{e^D-1}$ которую мы назовем «тенью»:
$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$
Под интегралами здесь следует понимать преобразования Фурье.
Теперь, интуитивно, почему следующее?
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$
Существуют и другие примеры, когда тень преобразует тригонометрические функции в обратные тригонометрические, логарифмы в экспоненты и т. Д .:
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$
Ответы
По сути, это слегка преобразованная версия разложения котангенса частичной дроби Эйлера. $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ (логарифмическая производная его знаменитой формулы произведения синуса $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$). По телескопической серии это можно переписать как$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ По теореме Тейлора $e^{nD_x}$ операция перевода $n$, поэтому формально геометрическими рядами имеем $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ (что, кстати, помогает объяснить формулу Эйлера-Маклорена), и поэтому $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ или эквивалентно $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ Это дает вашу личность после некоторых простых перестановок (и замены $z$ либо с $z/\pi$ или же $z/\pi + 1/2$).
Основная причина тождества частичной дроби Эйлера заключается в том, что полюсы и вычеты функции котангенса легко идентифицируются и вычисляются. Причина, по которой они могут быть свернуты в выражение, включающее оператор суммирования$\frac{1}{1-e^{D_x}}$состоит в том, что эти полюсы и вычеты обладают трансляционной инвариантностью, которая, в конечном счете, возникает из-за периодичности функции котангенса. Я бы предположил, что у Вейерштрасса есть похожие идентичности.$\wp$ двоякопериодическая функция с очень специфическим поведением полюсов.
Опера $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$
где $(b.)^n = b_n$являются числами Бернулли, (знаки модификации) часто называют оператором Тодда (возможно, первоначально это имя дал Хирцебрух, который использовал его для построения своего характеристического класса Тодда).
Он обладает дискретным (или деривационным) свойством, которое можно выразить следующими полезными способами:
$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$
$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$
где
$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$
- знаменитые многочлены Аппеля Бернулли с egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$, а также $F(x)$ является неопределенным интегралом / примитивом $f(x)$. Последнее равенство иллюстрирует выводное свойство многочленов Бернулли и полностью определяет их.
Это ведет к
$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$
$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$
и, в частности, цепочка отношений
$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$
$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$
$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$
Если вы правильно возьмете лимит $s \to -1$, вы придете к соотношению с натуральным логарифмом, откуда, наряду с разложением в ряд триггерных функций в ответе Терри Тао, вы можете извлечь свои конкретные формулы.
Для более сложного иллюстративного применения формулы дискретизации см. Уравнение. 1, «формула Хованского-Пухликова, комбинаторный аналог формулы Хирцебруха-Римана-Роха (HRR) для гладкого торического многообразия X с очень обильным делителем D ...» на стр. 2 книги »$T_y$- оператор на интегралах по решетчатым многогранникам »Года, Камимуры и Омото.
Обратите внимание также на темную обратную последовательность к многочленам Бернулли, степенным многочленам Аппеля.
$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$
с .egf $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$, определяется также темной композиционной инверсией
$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
Итак
- Деривационное свойство многочленов Аппеля Бернулли
$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$
$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$
- взаимная связь определяющих egfs моментов обратной пары полиномиальных последовательностей Аппеля
$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$
$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$
- взаимность двойных операций
$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$
$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$
- двойственные полиномиальные производящие свойства ops
$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$
$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$
- тёмная композиционная обратная связь двойственных множеств многочленов
$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
- и дискретизирующее свойство оператора Тодда
$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$
$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$
$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$
все они тесно (и продуктивно) взаимосвязаны, это разные грани дуальности Аппеля, и их можно обобщить с помощью преобразования Меллина.
Это еще не все - взаимосвязи проходят еще глубже через алгебру Вейля, коммутатор Грейвса / Ли / Пинчерле и лестничные операции, - но эта перспектива уже ведет к дальнейшим плодотворным исследованиям. Например, мы получаем загрузку в пределе как$n \to +\infty$ для дискретизирующей суммы модифицированная дзета-функция Гурвица как обобщение (интерполяция) полиномов Бернулли,
$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$
который наследует свойства последовательности многочленов Аппеля.
Уравнение «тени» является несколько ограничительным, поскольку оно предполагает FT $f(x)$существует, что не является необходимым условием для применения свойства дискретизации; Например, обратите внимание на аналогичную формулу преобразования Лапласа Абеля-Плана .
С другой нормализацией для FT,
$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$
а также
$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$
$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$
Характеристика действия оператора Тодда с использованием, скорее, интерполяции преобразования Меллина а-ля Рамануджан / Харди дает альтернативный конструктивный путь к дзета-функции Гурвица:
$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$
$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$
$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$
Разложение в ряд для функции Аппеля Бернулли для всех действительных или комплексных $s$ и реальные или сложные $z$ с участием $|z-1| < 1$ дается умбральным биномиальным разложением
$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$
$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$
$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$
где
$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$
с участием $\zeta(s)$, дзета-функция Римана.