Интуитивное понимание того, как встречаются параллельные линии в проективной геометрии
Я смотрю лекцию по топологии, где упоминается, что в Projective Geometry встречаются параллельные линии . Меня интересует интуитивное представление о том, как это вообще возможно. Делаем ли мы в проективной геометрии предположение, что на бесконечности параллельные прямые пересекаются, точно так же, как мы делаем предположение, что любая расходящаяся к бесконечности последовательность такая же на бесконечности?
Ответы
Поскольку вы просили интуитивного представления о том, как могут встречаться параллельные линии, рассмотрите общее наблюдение, что железнодорожные пути (которые параллельны) встречаются на горизонте. Вы, конечно, знаете, что Земля - не плоскость, и что мощный телескоп показал бы, что они на самом деле не встречаются. Но представьте, что Земля - это плоская бесконечная плоскость. Встречаются ли треки на горизонте или нет?
В проективной геометрии допустимые преобразования называются проективными преобразованиями . Они являются биекциями плоскости, которые отображают линии в линии. Четыре неколлинеарных точки, которые отображаются на другие четыре неколлинеарных точки, однозначно определяют проективное преобразование. Если вы поиграете с проективными преобразованиями, вы увидите, что они похожи на изменения в перспективе.
Возвращаясь к железнодорожным путям на бесконечной плоскости, рассмотрим перспективу A, которая смотрит на них сверху, и перспективу B, которая видит их сходящимися на горизонте (линия $h$). Проективное преобразование$T$ который переводит перспективу A в перспективу B. $T^{-1}$, который занимает $B$ к $A$. Поскольку строки переходят в строки, что$T^{-1}(h)$? Поскольку горизонт находится «на бесконечности»,$T^{-1}(h)$не может быть конечной линией. Это «линия в бесконечности»$l_{\infty}$, который представляет собой линию, состоящую из «бесконечно удаленных точек», которые, в свою очередь, можно рассматривать как направления (предположим, у вас есть две железные дороги, идущие в разных направлениях. Они будут встречаться в разных точках на горизонте). Более того,$T(l_{\infty})=h$, так $T$ это способ просмотра $l_{\infty}$ как видимая линия.
Добавление строки $l_{\infty}$ к самолету это немного похоже на добавление $i=\sqrt{-1}$ к $\mathbb R$чтобы получить комплексные числа. В обоих случаях мы добавляем то, что кажется нам воображаемым и нематериальным, но взамен получаем более последовательную и полную математическую основу.
Итак, да, в проекционной геометрии железнодорожные пути (если смотреть сверху как параллельные линии) встречаются в точке на $l_{\infty}$. И поэтому в проективной геометрии нет понятия «параллель».
Ответ на вопрос в комментарии (Но по сути или в действительности линии все еще параллельны, верно?): Проективная геометрия считает, что это просто линии и точки. Нет метрической информации, такой как расстояние и угол. С другой стороны, мы склонны использовать евклидову плоскость в качестве исходной модели, которая помогает нам визуализировать вещи. Это полезно, но мы должны отказаться от наших метрических понятий, и утверждение «параллельные линии никогда не пересекаются» больше не соответствует действительности, потому что оно заменено аксиомой «две прямые пересекаются в точке». Итак, евклидов плоскость - это своего рода тренировочные колеса для представления того, что происходит. Аналогия с мнимыми числами здесь только наводит на размышления, потому что «i» расширяет R до C, но с проективной геометрией «параллельные прямые не пересекаются» заменяется на «две различные прямые пересекаются». Вы можете пойти другим путем и начать с проективной плоскости и, настроив все, получить евклидову плоскость. Аксиома параллельности также заменена в гиперболической геометрии, но другим способом, и люди вроде Гаусса, как известно, задавались вопросом, верна ли аксиома параллельности «в действительности» (например, в реальном мире), но держали свои мысли при себе, потому что они были слишком противоречивыми. . А в сферической геометрии две линии (определяемые как большие круги) всегда встречаются.
Но на ваш вопрос, если вы хотите играть по правилам игры, вы не говорите, что две линии параллельны, вы говорите, что они встречаются в $l_{\infty}$. И в этом нет ничего особенного$l_{\infty}$. Фактически, если у вас есть теорема о параллельных прямых, вы часто можете получить новую теорему бесплатно, применив проективное преобразование и заменив «параллельные линии» на «линии, которые пересекаются на определенной прямой (например,$h$) ". Вы все еще можете настаивать на параллельности линий, но в этот момент вы выходите за рамки и говорите что-то о конкретной модели проективной геометрии.
в проективной геометрии параллельные прямые пересекаются
Это оксюмороническое заявление.
Точнее сказать
в проективной геометрии нет двух разных прямых, параллельных
Оксюмороническое утверждение возникло следующим образом: из любой аффинной плоскости (например, евклидовой плоскости, где на одной линии было несчетное количество параллельных соотечественников) вы можете добавлять точки, которые образуют одну новую линию, и расширять отношения инцидентности, чтобы создать проективную плоскость. содержащий эту аффинную плоскость.
Для каждого класса эквивалентности вы объявляете новую точку, называемую идеальной точкой, соответствующую этому классу. Все линии в классе «расширены» на одну точку, и все они имеют общую точку.