Искривление пространства возле черной дыры
(Строгим теоретикам придется простить мою формулировку по этому вопросу, я новичок в ОТО, и большая часть моей физической подготовки связана с квантовой механикой)
В неевклидовой геометрии мы можем говорить о сферическом пространстве как о внутренне искривленном пространстве. В сферическом пространстве «параллельные» линии сходятся в точку. Я прочитал в Википедии, что «Топология горизонта событий черной дыры в состоянии равновесия всегда сферическая».
Является ли правильным утверждение, что пространство вокруг черной дыры является сферическим, и поэтому схождение «параллельных линий» встречается в некоторой точке внутри горизонта событий? Если это не так, можем ли мы вообще классифицировать пространство вокруг сингулярности как гиперболическое, сферическое или что-то еще?
Ссылка ниже:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Ответы
Я не думаю, что было бы правильным описывать пространство-время возле черной дыры как «сферическое». Во-первых, кривизна пространства меняется в зависимости от того, насколько близко вы находитесь к черной дыре. Для сферы кривизна постоянна и не меняется в зависимости от местоположения. Кроме того, вам нужно более одного действительного числа, чтобы указать кривизну пространства-времени с размерами больше 2 (это потому, что у вас может быть пространство, где углы треугольника, ориентированного в одном направлении, в сумме составляют менее 180 градусов. , но углы треугольника, ориентированного в другом направлении, составляют в сумме более 180 градусов.) Кроме того, гравитационное поле черной дыры в значительной степени зависит от того факта, что пространство-время искривлено, а не только от пространственной кривизны.
Вы, вероятно, все еще могли бы классифицировать кривизну пространства-времени на основе знаков различных компонентов тензора кривизны, но классификация будет более сложной, чем сферическая, плоская или гиперболическая.
Я прочитал в Википедии, что «Топология горизонта событий черной дыры в состоянии равновесия всегда сферическая».
Этот ответ поясняет, что означает это утверждение. Это означает, что если мы начнем с любой черной дыры в 4-м пространстве-времени, а затем рассмотрим горизонт как трехмерное многообразие, это многообразие имеет топологию$S^2\times \mathbb{R}$, где $S^2$ представляет собой двусферу (поверхность шара) и $\mathbb{R}$это линия. Это утверждение о топологии, а не о геометрии. В частности, в заявлении (почти) ничего не говорится о геодезических (или параллельных прямых).
Кстати, утверждение относится к черным дырам в 4-м пространстве-времени. В 5d пространстве-времени черная дыра может иметь горизонт событий с несферической топологией.
пример
Рассмотрим метрику Шварцшильда в 4-м пространстве-времени. Элемент линии для космических мировых линий$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ где $A(r)$идет к нулю на горизонте. Обозначение$d\Omega^2$ сокращение от сферико-координатной части: без коэффициента $A$, комбинация ${dr^2}+r^2d\Omega^2$будет линейным элементом плоского трехмерного евклидова пространства в сферических координатах. Любое фиксированное значение$r$определяет трехмерное подмногообразие четырехмерного пространства-времени. Если$A(r)\neq 0$, индуцированная метрика на этом многообразии есть $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ где сейчас $r$ и $A(r)$являются константами. Это стандартная метрика на$S^2\times\mathbb{R}$, где коэффициент $\mathbb{R}$ учитывает дополнительную координату $t$. На горизонте у нас есть$A(r)=0$, и уравнение (1) здесь не имеет смысла. Гладкое многообразие все еще имеет смысл, но компоненты метрики нет. Мы можем решить эту проблему двумя способами:
Взять $r$быть произвольно близким к этому значению. Этого достаточно, чтобы увидеть, какая топология$A(r)=0$коллектор будет. Уравнение (1) говорит, что$dt^2$исчезает на горизонте, что соответствует тому факту, что горизонт является нулевой гиперповерхностью: смещения в$t$-направления светоподобные (имеют нулевую длину).
Более того, мы можем использовать другую систему координат, чтобы 4-мерная метрика четко определялась на горизонте. В координатах Керра-Шильда метрика Шварцшильда имеет вид$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ где $V(r)$ хорошо определена везде, кроме $r=0$. Горизонт соответствует$V(r)=1$, где $dt^2$срок исчезает. Настройка$r$ равное этому специальному значению дает индуцированную метрику $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Это стандартная метрика на $S^2$, но на самом деле топология $S^2\times\mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ фактор учитывает $t$-координат. Здесь нет$dt^2$ член в (4), поскольку горизонт является нулевой гиперповерхностью: смещения в $t$-направления имеют нулевую длину. К этому же выводу мы пришли раньше, но теперь мы пришли к нему более прямо, потому что метрика (3) четко определена на горизонте.