Используя правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла для линейных интегралов

Aug 15 2020

Есть ли ссылка, которая доказывает справедливость дифференцирования под линейным интегралом для доказательства интегральных формул Коши?

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Ответы

Melody Aug 15 2020 at 23:57

Вы можете использовать теорему 2.27 из текста настоящего анализа Фолланда. Упрощенная версия этой теоремы для комплексных чисел гласит, что если$C,D$ компактны, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ аналитично для всех $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ непрерывна по обоим аргументам, то для всех $w\in D$ это следует из того $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

По сути, почему это работает, потому что $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Фолланд использует теорему о доминирующей сходимости, чтобы гарантировать вышеуказанные работы. В нашем случае как$C\times D$ компактно по теореме Тихонова, и $\partial h/\partial w (z,w)$ продолжается на $C\times D$, тогда $|\partial h/\partial w (z,w)|$ ограничено сверху константой, скажем $M$. поскольку$C$ имеет конечную меру (компактность), следует, что $M\in L^1(C)$ поэтому мы можем использовать доминируемые сходства для обоснования дифференцирования под знаком интеграла.

В твоем случае, $C$круг, который компактен. Теперь для$f(u)/(u-w)$, вы можете сказать, что это не определено на компактном множестве, но если мы ограничим значения $w$ к маленькому замкнутому диску и значениям $u$ к окружности, то наша функция определена в области вида $C\times D$ где $C,D$ компактны.

Matematleta Aug 16 2020 at 01:25

Вы можете найти тщательное доказательство здесь

Вот еще один способ: используя простые факты о степенных рядах, мы имеем, фиксируя целое число $n,$ и письмо $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ внутри $C,$ у нас есть

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Это следует из того $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Но $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ Результат следует.