Как аффинно (не) зависимые векторы в $\mathbb R^n$ расположены в пространстве?

Aug 15 2020

Рассмотрим конечный набор векторов $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Этот набор линейно независим, если $\sum_k \alpha_k v_k=0$ подразумевает $\alpha_k=0$. С геометрической точки зрения я понимаю линейную зависимость как утверждение, что набор векторов содержится в гиперплоскости, проходящей через начало координат.

С другой стороны, мы говорим, что $\{v_i\}_i$являются аффинно зависит , если$\sum_k \alpha_k v_k=0$ за $\alpha_k$не все нулевые и такие, что$\sum_k\alpha_k=0$. Есть ли аналогичная геометрическая интуиция, которую нужно визуализировать, когда набор$\{v_i\}_i$ аффинно зависимо / независимо?

Ответы

2 LeeMosher Aug 15 2020 at 20:33

Ваша характеристика линейной (не) зависимости не совсем верна. Каждый набор векторов содержится в некоторой гиперплоскости, проходящей через начало координат, а именно через его промежуток.

Вместо этого я бы сказал, что конечный набор векторов линейно зависим, если они лежат в гиперплоскости через начало координат, размерность которой меньше количества векторов в наборе.

И точно так же конечный набор точек в $\mathbb R^n$является аффинно зависимым, если он лежит в гиперплоскости, размерность которой меньше количества точек в множестве минус 1 . Таким образом, 3 разные точки на прямой аффинно зависимы, но 2 разные точки на прямой аффинно независимы.

Есть еще одна красивая геометрическая картина аффинной независимости:

  • пара точек аффинно независима, если это набор конечных точек линейного сегмента (что происходит тогда и только тогда, когда две точки в этой паре не равны)
  • тройка точек аффинно независима, если это множество вершин треугольника
  • четверка точек аффинно независима, если она является множеством вершин тетраэдра
  • а $k$-набор точек аффинно независим, если это множество вершин $k-1$мерный симплекс .
1 JohnHughes Aug 15 2020 at 18:49

Как говорит @ runway44, аффинно-зависимый означает «все они в гиперплоскости», хотя, возможно, это гиперплоскость, не содержащая начала координат. Чтобы быстро это увидеть, возьмите$k+1$ векторов $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ с участием $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ и вычесть $v_0$ от каждого из $v_1, \ldots, v_k$ получить $w_1, \ldots, w_k$.

Тогда векторы $w_k$все лежат на параллельной гиперплоскости, проходящей через начало координат. (Стоит провести алгебру, чтобы установить это самостоятельно).

Или, выражаясь более классически, если взять $v_0$ как начало новой системы координат, то оставшиеся $v_i$ все векторы лежат в гиперплоскости.